弗兰登塔尔

则具体指出怎么才能使数学课程帮助学生重复人类数学发现的过程.下面分别做些分析: (1).情景问题

传统的数学课程内容是作为科学的数学的一部分,它提供的是一些现成的数学结构和结果.按照弗兰登塔尔的思想,这些内容是不能直接用于课堂的.学生应当通过他们自己的再发现重新构建这些数学结构.所以,数学课程应从现实生活出发.具体到课本上,数学课程应当从与现实生活密切相关的情景问题出发,学生在课堂上通过这些情景问题自己去发现数学概念和解决实际问题.

现实数学教育中的情景问题是指那些与学生熟悉的现实生活有关的问题.情景问题是直观的和容易引起想象的数学问题.情景问题的特点是,问题的数学背景包含在丰富的现实情景之中,而且与学生已经了解或学习过的数学知识相关联,特别地,与那些学生已经具有的,但未经训练和不那么严格的数学知识相关联.如果条件合适,情景问题可以就是现实生活中的真情实景.另外,由于情景问题是学生自己作出发现的土壤,所以任何有利于数学发现的问题都可作为情景问题,其中包括一些抽象的数学系统和传说中的故事,神话,童话等等,它们虽不具备真情实景,但同样是学生作出数学发现的源泉,是课堂讨论的基础,学生通过情景问题去发现新的数学概念,通过自己的发现去解决新的情景问题.情景问题是现实数学的出发点,也是学生应用数学的领域.现实世界与数学世界之间,具体与抽象之间的联系就是用情景问题建立并沟通的.现实数学课程的教材内容完全是由这样的情景问题串连而成.可以说,现实数学教育的课本形式就是\情景问题串\ 在本章后面\教材实录\一节,将具体介绍\情景问题\在数学课本中的具体表现.

(2)数学化

数学化是现实数学课程的主题.现实数学课程是关于数学再发现的课程.这里的\再发现\就是数学化.所以,现实数学教育亦可称为关于如何实现数学化的教育.数学化是现实数学教育思想体系中最重要的概念.一般说来,数学化是一种由现实问题到数学问题,由具体问题到抽象概念的认识转化活动,是人类发现活动在数学领域里的具体体现.现实数学课程中所说的数学化,泛指学习者从一个具体的情景问题开始,到得出一个抽象数学概念的教育全过程,具体说来,现实数学课程所说的数学化可分为先后两个层次:水平数学化和垂直数学化.

水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化,是把情景问题表述为数学问题的过程.大体包括以下内容: ·确定情景问题中包含的数学成分;

·建立数学成分与已知的数学模型之间的联系; ·通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化;

·找出蕴含其中的关系和规则;

·考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现; ·作出形式化的表述;

水平数学化是发现情景问题中的数学成分,并对这些成分做符号化处理的数学化过程,是从现实生活到数学符号的转化.通过水平数学化,一个现实问题转化为数学问题.

垂直数学化是在水平数学化之后进行的数学化,是从具体问题到抽象概念和方法的转化,是建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程.垂直数学化大体上包含以下内容: ·用数学公式表示关系; ·对有关规则作出证明;

·尝试不同数学模型的建立和使用; ·对得出的数学模型进行调整和加工;

·综合不同数学模型的共性,形成功能更强的新模型; ·用数学公式和语言精确表述得到的新概念和新方法; ·推广和一般化.

垂直数学化是在数学的范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理的数学化过程,是从符号到概念的转化.

在经过数学化得到一个新的数学概念之后,还需要对已经得到的概念,模型,技巧作进一步的理解和把握,下面这些活动也是数学化的一部分:

·对得出的结果作出解释和说明;

·对得到的模型和方法的适用范围进行讨论; ·回顾,总结和分析已经完成的数学化过程; ·应用.

在许多情况下,水平数学化和垂直数学化的界限是不那么分明的.