2019年
解析 f′(x)＝3x＋2ax＋a＋6. 因为函数f(x)既有极大值又有极小值， 所以Δ＝(2a)－4×3×(a＋6)>0， 解得a>6或a<－3.
4．若函数f(x)＝x－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为________． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 (0,1)
解析 f′(x)＝3x－3a.
当a≤0时，在区间(0,1)上无极值．
当a>0时，令f′(x)>0，解得x>a或x<－a. 令f′(x)<0，解得－a 若f(x)在(0,1)内有极小值，则0 5．已知函数f(x)＝x－12x＋4，讨论方程f(x)＝m的解的个数． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 由题意知，f′(x)＝3x－12＝3(x－2)(x＋2)． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2 323 2 2 x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ ↗ －2 0 极大值 (－2,2) － ↘ 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ ↗ 所以f(x)极小值＝f(2)＝－12，f(x)极大值＝f(－2)＝20. 又因为f(x)的定义域是R，画出函数图象(图略)， 所以当m>20或m<－12时，方程f(x)＝m有一个解； 当m＝20或m＝－12时，方程f(x)＝m有两个解； 当－12 1．研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与 x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标． 2．事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 2019年 一、选择题 1．函数f(x)＝3x－ln x－x的极值点的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 B 解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)； 16x－x－1?2x－1??3x＋1? f′(x)＝6x－－1＝＝； 2 2 xxx11 ∴当0 221 ∴x＝是f(x)的极值点； 2即f(x)的极值点个数为1.故选B. 2．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x－ax－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( ) A．2 B．3 C．6 D．9 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 D 解析 f′(x)＝12x－2ax－2b， ∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0， ∴a＋b＝6. 又a>0，b>0，∴a＋b≥2ab， ∴2ab≤6(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，∴ab≤9. 3．若函数f(x)＝2x－9x＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a的值可能为( ) A．4 B．6 C．7 D．8 答案 A 解析 f′(x)＝6x－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． 由f′(x)>0，得x<1或x>2， 由f′(x)<0，得1 所以函数f(x)在区间(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)． 若函数f(x)恰好有两个不同的零点，则f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4. 23 2 2 3 2 4．函数f(x)＝x2 －aln x(a∈R)不存在极值点，则a的取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0] 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 D 解析 f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝2x－a2x2－ax＝x， 若f(x)在(0，＋∞)上不存在极值点，则a≤2x2 在(0，＋∞)上恒成立，故a≤0，故选D. 5．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是( ) A.??4?e2，＋∞??? B.??4?0，e2??? C．(0,4e2 ) D．(0，＋∞) 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 B 解析 令g(x)＝x2ex， 则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)． 令g′(x)＝0，得x＝0或－2， ∴g(x)在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增． ∴g(x)g(－2)＝4 极大值＝e2，g(x)极小值＝g(0)＝0， 又f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则0 2. 6．已知函数f(x)＝ln x＋12ax2 －(a＋1)x＋1在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围是( A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 C 解析 f(x)的定义域是(0，＋∞)， ∵f(x)＝ln x＋12ax2 －(a＋1)x＋1， ∴f′(x)＝1x＋ax－(a＋1)＝?ax－1??x－1? x， 2019年 ) 2019年 1 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1， a若f(x)在x＝1处取得极小值， 1 则0<<1，解得a>1. a7．已知函数f(x)＝ax＋bx＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定( ) 32 A．等于0 C．小于0 考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 B 解析 f′(x)＝3ax＋2bx＋c. 令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根． 2bb∴x0＋2＝－<0，即>0. 3aa由题图知，f′(x)<0的解为(x0,2)，∴3a>0，则b>0， ∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0. 二、填空题 12 8．函数f(x)＝ax＋bx在x＝处有极值，则b的值为________． 2 B．大于0 D．小于或等于0 a考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 －2 解析 f′(x)＝2ax＋b， 1 ∵函数f(x)在x＝处有极值， a1?1?∴f′??＝2a·＋b＝0，即b＝－2. a?? a9．函数f(x)＝ax＋x＋1有极值的充要条件是________． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 a<0 解析 f(x)＝ax＋x＋1的导数为f′(x)＝3ax＋1， 若函数f(x)有极值，则f′(x)＝0有解， 3 2 3 2019年 即3ax＋1＝0有解，∴a<0. 10．若函数f(x)＝x＋x－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 [1,5) 解析 由题意，得f′(x)＝3x＋2x－a， 则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0， 解得1 另外，当a＝1时，函数f(x)＝x＋x－x－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 当a＝5时，函数f(x)＝x＋x－5x－4在区间(－1,1)没有极值点． 故实数a的取值范围为[1,5)． 11．设a∈R，若函数y＝e＋ax(x∈R)有大于0的极值点，则实数a的取值范围为________． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 (－∞，－1) 解析 ∵y＝e＋ax，∴y′＝e＋a，由题意知，e＋a＝0有大于0的实根．令y1＝e，y2＝－a，则两曲线的交点在第一象限，如图，结合图形易得－a>1，解得a<－1. 三、解答题 12．设a为实数，函数f(x)＝x－x－x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 (1)f′(x)＝3x－2x－1. 1 令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1. 3 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 xxxxxx f′(x) f(x) ?－∞，－1? ??3??＋ ↗ 1－ 30 极大值 ?－1，1? ?3???－ ↘ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ ↗ ?1?5 ∴f(x)的极大值是f ?－?＝＋a， ?3?27 极小值是f(1)＝a－1. (2)函数f(x)＝x－x－x＋a 3 2
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