课时作业(十五)A [第15讲 导数与函数的极值、最值]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．下列命题中正确的是( ) A．导数为0的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0且f′(x0)＝0，那么f(x0)是极大值 C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0且f′(x0)＝0，那么f(x0)是极小值 D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0且f′(x0)＝0，那么f(x0)是最小值
1
2．函数y＝x＋的极值情况是( )
x
A．既无极小值，也无极大值
B．当x＝1时，极小值为2，但无极大值 C．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
D．当x＝1时，极小值为2，当x＝－1时，极大值为－2
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图K15－1，则( )
图K15－1 A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点 B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点 C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点 能力提升
1
5． 函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处有极值，则ab的值为( )
a
A．2 B．－2 C．3 D．－3
1
6．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( )
x
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
7． 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
1
8．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围
2
是( )
33
A．m≥ B．m> 2233
C．m≤ D．m< 22
9． 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是( ) ．．．
图K15－2
1
1
10．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．
2
11． 已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________. 12．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．
1
13．已知函数f(x)＝x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数
3
f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为________．
14．(10分)已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1，仅当x＝－1，x＝1时取得极值，且极大值比极小值大4.
(1)求a、b的值；
(2)求f(x)的极大值和极小值．
15．(13分)已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
难点突破
16．(12分)已知函数f(x)＝xlnx. (1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1成立，求实数a的取值范围．
2
课时作业(十五)A
【基础热身】
1．B [解析] 根据可导函数极值的判别方法，如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值，反之是极小值，而导数为0的点不一定是极值点．
2
1x－1
2．D [解析] 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝1－2＝2，令y′＝0，
xx
得x＝－1或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下： x (0,1) 1 (－∞，－1) －1 (－1,0) (1，＋∞) 0 0 f′(x) ＋ － － ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以当x＝－1时，有极大值f(－1)＝－2，当x＝1时有极小值f(1)＝2. 3．D [解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5.
4．A [解析] x1、x4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x2与x3是变号零点，因此它们是极值点，且x2是极大值点，x3是极小值点．
【能力提升】
1??1?2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D. 5．D [解析] 由f′?＝3a?a??a?12
6．A [解析] 由题意可得f′(x)＝2－2(x<0)，令f′(x)＝0得x＝－(舍正)，
x2
列表如下： 2?－∞，－2? ?－2，0? x － 2?2??2?0 — f′(x) ＋ f(x) 极大值 2由表可得：当x＝－时，f(x)取得最大值，无最小值； 222
f(x)在－∞，－单调递增，在－，0单调递减，故选A.
22
2
7．D [解析] f′(x)＝12x－2ax－2b， ∵f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6， ∵a>0，b>0，
a＋b?2
∴ab≤??2?＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选D.
1
8．A [解析] 因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x
2
27
＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，
2
273
不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.
22
x
9．D [解析] 设F(x)＝f(x)e，
∴F′(x)＝exf′(x)＋exf(x)＝ex(2ax＋b＋ax2＋bx＋c)， 又∵x＝－1为f(x)ex的一个极值点，
－
∴F′(－1)＝e1(－a＋c)＝0，即a＝c， ∴Δ＝b2－4ac＝b2－4a2， 当Δ＝0时，b＝±2a，即对称轴所在直线方程为x＝±1；
b?当Δ>0时，??2a?>1，即对称轴在直线x＝－1的左边或在直线x＝1的右边． 又f(－1)＝a－b＋c＝2a－b＜0，故D错，选D.
3
1??f′?x?＝x－x>0，1
10. [解析] 由?2
??x>0，
2
得x>1.
1??f′?x?＝x－x<0，
由?得0
11∴f(x)在x＝1时，取得最小值f(1)＝－ln1＝. 2211．11
??f?－1?＝0，
[解析] f′(x)＝3x＋6mx＋n，依题意有?
?f′?－1?＝0，?
即
2
??m＋3m－n－1＝0，? ?－6m＋n＋3＝0，?
????m＝2，?m＝1，?m＝1，
??解得或检验知当?时，函数没有极值．所以m＋n＝11. ????n＝9?n＝3，?n＝3
12．4 [解析] ∵y′＝3x2＋6ax＋3b， 2
???3×2＋6a×2＋3b＝0，?a＝－1，?∴?? 2???3×1＋6a×1＋3b＝－3?b＝0.∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，
则x＝0或x＝2，∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
41
0，? [解析] ∵f(x)＝x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx.∵x＝2时，f(x)取得极值，13.??3?32
∴2－2b×2＝0，解得b＝1.∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增．
f?0?＝c>0，??4
若f(x)＝0有3个实根，则?解得0＜c＜. 1323f?2?＝×2－2＋c<0，?3?
14．[解答] (1)∵f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1， ∴f′(x)＝5x4＋3ax2＋b. ∵x＝±1时有极值，∴5＋3a＋b＝0，∴b＝－3a－5①，
代入f′(x)得f′(x)＝5x4＋3ax2－3a－5＝5(x4－1)＋3a(x2－1)＝(x2－1)[5(x2＋1)＋3a] ＝(x＋1)(x－1)[5x2＋(3a＋5)]． ∵f(x)仅当x＝±1时有极值，∴5x2＋(3a＋5)≠0对任意x成立．
5
∴3a＋5>0，a>－.
3
考察f(x)、f′(x)随x的变化情况： x 1 (－∞，－1) －1 (－1,1) (1，＋∞) 0 0 f′(x) ＋ － ＋ f(x) 极大值 极小值 由此可知，当x＝－1时取极大值，当x＝1时，取极小值． ∴f(－1)－f(1)＝4，即[(－1)5＋a(－1)3＋b(－1)＋1]－(15＋a·13＋b·1＋1)＝4， 整理得a＋b＝－3②，
?a＝－1，?
由①②解得?
?b＝－2.?
(2)∵a＝－1，b＝－2， ∴f(x)＝x5－x3－2x＋1.
∴f(x)的极大值为f(－1)＝3.
4
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