数值试题
数值计算方法试题一
一、填空题（每空1分，共17分）
31、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2x?x??(x?2)局部收敛的充分条件是?取值在（ ）k?1kk2、迭代格式。 ?x30?x?1?S(x)??132(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?3?2?3、已知是三次样条函数，则
a=( )，b=（ ），c=（ ）。
4、l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，则
?lk?0nk(x)?( )，k?0?xlnkj(xk)?( )，当n?2时k?0?(xn4k2?xk?3)lk(x)?( )。
7425、设f(x)?6x?2x?3x?1和节点xk?k/2,k?0,1,2,?,则f[x0,x1,?,xn]?
和?f0? 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
????(x)k?0是区间[0,1]上权函数?(x)?x的最高项系数为7、k71的正交多项式族，其中
?0(x)?1，则?0x?4(x)dx? 。
?x1?ax2?b1??ax1?x2?b2，a为实数，
8、给定方程组?当a满足 ，且0???2时，SOR
迭代法收敛。
[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)??y??f(x,y)h?[0]?y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?y(x)?y00?2?9、解初值问题的改进欧拉法是
1 阶方法。
?10a??A??01a????aa1??，当a?（ ）时，必有分解式A?LLT，其中L为下三10、设
角阵，当其对角线元素lii(i?1,2,3)满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分）
?Bx(k)?g收敛的充要条件是（ ）。
（1）?(A)?1, (2) ?(B)?1, (3) ?(A)?1, (4) ?(B)?1
1、解方程组Ax?b的简单迭代格式xb(k?1)?2、在牛顿-柯特斯求积公式：
af(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)i?0n(n)C中，当系数i是负值时，
公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）n?8， （2）n?7， （3）n?10， （4）n?6，
3、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 f(x) -2 -1.75 -1 1
2.5 4.25 0.25 2 数值试题
所确定的插值多项式的次数是（ ）。
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次
hh,yn?f(xn,yn))244、若用二阶中点公式求解初值问题
y???2y,y(0)?1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（ ）。 (1)0?h?2, (2)0?h?2, (3)0?h?2, (4)0?h?2
yn?1?yn?hf(xn?三、1、（8分）用最小二乘法求形如y?a?bx的经验公式拟合以下数据： 2xi yi 19 19.0 25 32.3 30 49.0 38 73.3 2、（15分）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算(1) (1) 试用余项估计其误差。
?10e?xdx时，
（2）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
3四、1、（15分）方程x?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）
11x?1?x?1?n?13x?13x?xn；x?x?1对应迭代格式n?1nx对应迭代格式；(2)
33x?x?1。判断迭代格式在x0?1.5的收敛性，选一种收x?x?1n?1n（3）对应迭代格式
敛格式计算x?1.5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭
代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组AX?f，其中
?43??24?
?f??30?A??34?1????
????14??，??24??
（1） （1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。
?dy???y?1?dx?y(0)?1五、1、（15分）取步长h?0.1，求解初值问题?用改进的欧拉法求y(0.1)的
值；用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式p(x)使它满足
p(x0)?f(x0),p(x1)?f(x1),p?(x0)?f?(x0),p?(x1)?f?(x1),p(x2)?f(x2)
六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如
?xf(x)dx?S(x)?Af(0)?Bf(1)?Cf?(0)?Df?(1)
0141（1） （1） 试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）设
f(x)?C[0,1]，推导余项公式R(x)??0xf(x)dx?S(x)，并估计误差。
2、 2、 用二步法
2
数值试题
yn?1??0yn??1yn?1?h[?f(xn,yn)?(1??)f(xn?1,yn?1)]
?y??f(x,y)?y(x0)?y0时，如何选择参数?0,?1,?使方法阶数尽可能
求解常微分方程的初值问题?高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二
一、判断题：（共16分，每小题２分）
１、若A是n?n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A?LU唯一
成立。 （ ） ２、当n?8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）
bn3、形如
?af(x)dx??Aif(xi)i?1的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次
数为2n?1。 （ ）
?210???A??111??012???的２－范数A2＝９。４、矩阵（ ） ?2aa0???A??0a0??00a????，则对任意实数a?0，方程组Ax?b都是病态的。5、设（用?）
（ ） 6、设A?Rn?nQ?R，
n?nTA2?QA2。
，且有QQ?I（单位阵），则有（ ）
7、区间?a,b?上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）
8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：
?223??100??223???????A??477???210??0b1???245???1a1??006???????，则a,b的值分别为a?2，b?2。（ ）
二、填空题：（共20分，每小题2分）
1、设f(x)?9x?3x?21x?10，则均差
f[2,2,?,2]?__________，f[3,3,?,3]?__________。
2、设函数f(x)于区间?a,b?上有足够阶连续导数，p??a,b?为f(x)的一个m重零点，
018019842f(xk)xk?1?xk?m'f(xk)的收敛阶至少是 __________阶。 Newton迭代公式
３、区间?a,b?上的三次样条插值函数S(x)在?a,b?上具有直到__________阶的连续导
数。
?7?2???A???T??31?，则 4、向量X?(1,?2),矩阵
AX1?__________，cond(A)??__________。
3
数值试题
5、为使两点的数值求积公式：?1?1f(x)dx?f(x0)?f(x1)具有最高的代数精确度，则
其求积基点应为x1?__________，x2?__________。 6、设A?R等于）
n?nA2。T，A?A，则?(A)（谱半径）__________（此处填小于、大于、?0?1??limAk?2?，则k??__________。
?1?A??2
1??47、设
三、简答题：（9分）
x*1、 1、 方程x?4?2在区间?1,2?内有唯一根x，若用迭代公式：
*xk?1?ln(4?xk)/ln2 (k?0,1,2,?)，则其产生的序列?xk?是否收敛于x？说明
理由。 2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？ 3、 3、 设x?0.001，试选择较好的算法计算函数值四、（10分）已知数值积分公式为：
f(x)?1?cosxx2。
?h0f(x)dx?h[f(0)?f(h)]??h2[f'(0)?f'(h)]2，试确定积分公式中的参数?，使
其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 五、（8分）已知求a(a?0)的迭代公式为：
xk?1?1a(xk?)2xkx0?0k?0,1,2?证明：对一切k?1,2,?,xk?从而迭代过程收敛。 六、（9分）数值求积公式
代数精度是多少？
~a，且序列?xk?是单调递减的，
?303f(x)dx?[f(1)?f(2)]2是否为插值型求积公式？为什么？其
七、（9分）设线性代数方程组AX?b中系数矩阵A非奇异，X为精确解，b?0，若向
量X是AX?b的一个近似解，残向量r?b?AX，证明估计式：
~X?XX?con(Ad)~rb（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。
八、(10分)设函数f(x)在区间?0,3?上具有四阶连续导数，试求满足
下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H(x)，并导出其余项。
i 0 0 1 1 2 2 xi 4
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