数值试题
f(xi) f'(xi) -1 3 1 3 ?n(x)?是区间[a,b]上关于权函数w(x)的直交多项式序列，九、(9分)设?xi(i?1,2,?,n,n?1)为??n?1(x)?的零点，
li(x)(i?1,2,?,n,n?1)是以?xi?为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，
ban?1k?1?f(x)w(x)dx??Akf(xk)为高斯型求积公式，证明：
（1）（1）当0?k,j?n,k?j时，i?1 （2）
?A?in?1k(xi)?j(xi)?0
?lan?1bk(x)lj(x)w(x)dx?0baba(k?j)
（3）k?1十、（选做题8分）
??lk2(x)w(x)dx??w(x)dx
若f(x)??n?1(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)，
xi(i?0,1,?,n)互异，求f[x0,x1,?,xp]的值，其中p?n?1。
数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
(1) (1) (2分)改变函数f(x)? 。
(2) (2) (2分)若用二分法求方程f?x??0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小
数，则需要对分 次。
2?x12?x2??f?x????xx??12?，则f'?x?? (3) (3) (2分)设
x?1?x (x??1)的形式，使计算结果较精确
?2x3,0?x?1S?x???32x?ax?bx?c,1?x?2是3次样条函数，则 ?(4) (4) (3分)设
a= , b= , c= 。 (5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算
式估计，至少用 个求积节点。
?10exdx，要求误差不超过10，利用余项公
?6?x1?1.6x2?1??0.4x1?x2?2的Gauss-Seidel迭代公式
(6) (6) (6分)写出求解方程组? ，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 。
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数值试题
?54?A???43??,则A?? ，Cond??A?? 。 (7) (7) (4分)设
(8) (8) (2分)若用Euler法求解初值问题y'??10y,稳定，则步长h的取值范围为
二. (64分)
(1) (1) (6分)写出求方程4x?cos?x??1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证
明其收敛性。
(2) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用
余项估计误差。
(3) (3) (10分)求f?x??e在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
xy?0??1，为保证算法的绝对
(4) (4) (10分)用复化Simpson公式计算积分
差限为0.5?10。
?5I??sin?x?dx0x的近似值，要求误
1(5) (5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：
?x1?4x2?2x3?24??3x1?x2?5x3?34?2x?6x?x?2723 ?1
?13??5????x1????12???x????2??11??2??1???? 的最小二乘解。 (6) (6) (8分)求方程组 ?(7) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题：
?dydx?xy,1?x?1.2??y(1)?2
.)的近似值，取步长h?0.2。 用改进的Euler方法计算y(12三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)
(1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：
p?1??15，p'?1??20，p''?1??30，p?2??57，p'?2??72
(2) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
?1???xfxdx?Af1?0???A1f??02??
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数值试题
?101?A???11????的模最大的特征值及其相应的单位特征向(3) (3) (6分)用幂法求矩阵
量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值
T??1,0为。
(4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
y'?x??f?x,y?x??,a?x?b,y?a??y0 的形式为 yi?1?yi?h??0fi??1fi?1?,i=1,2,…,N
的公式，使其精度尽量高，其中fi?f?xi,yi?, xi?a?ih, i=0,1,…,N,
h??b?a?N
(5) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
?y''?p?x?y'?q?x?y?r?x??0,a?x?b??y'?a??0,y?b??0 所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
(9) (1) (2分)改变函数f(x)? 。
(10) (2) (2分)若用二分法求方程f?x??0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小
数，则需要对分 次。
2?x12?x2??f?x????xx??12?，则f'?x?? (11) (3) (2分)设
x?1?x (x??1)的形式，使计算结果较精确
?2x3,0?x?1S?x???32?x?ax?bx?c,1?x?2是3次样条函数，则 (12) (4) (3分)设
a= , b= , c= 。 (13) (5) (3分)若用复化梯形公式计算
式估计，至少用 个求积节点。
?10exdx，要求误差不超过10，利用余项公
?6?x1?1.6x2?1??0.4x1?x2?2的Gauss-Seidel迭代公式
(14) (6) (6分)写出求解方程组? ，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 。
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数值试题
?54?A???43??,则A?? ，Cond??A?? 。 (15) (7) (4分)设
(16) (8) (2分)若用Euler法求解初值问题y'??10y,稳定，则步长h的取值范围为
二. (64分)
(8) (1) (6分)写出求方程4x?cos?x??1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证
明其收敛性。
(9) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用
余项估计误差。
(10) (3) (10分)求f?x??e在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
xy?0??1，为保证算法的绝对
(11) (4) (10分)用复化Simpson公式计算积分
差限为0.5?10。
?5I??sin?x?dx0x的近似值，要求误
1(12) (5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：
?x1?4x2?2x3?24??3x1?x2?5x3?34?2x?6x?x?2723 ?1
?13??5????x1????12???x????2??11??2??1???? 的最小二乘解。 (13) (6) (8分)求方程组 ?(14) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题：
?dydx?xy,1?x?1.2??y(1)?2
.)的近似值，取步长h?0.2。 用改进的Euler方法计算y(12三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)
(6) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：
p?1??15，p'?1??20，p''?1??30，p?2??57，p'?2??72
(7) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
?1???xfxdx?Af1?0???A1f??02??
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