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授课日期 班 别 题 目 目 的 要 求 重 点 难 点 教 具 2011.10.22 1044-3 第三章 空间力系与重心 ? ? ? ? 掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算 掌握力对轴的矩的计算 掌握空间力系的平衡条件 掌握重心的概念 空间力系的平衡条件 力对轴的矩的计算 课本 教 学 方 法 课堂教学 第三章 空间力系与重心 报 书 设 计 第一节 力在空间直角坐标系上的投影 第二节 力对轴的矩 第三节 空间力系的平衡条件 第四节 物体的重心 第 1 页 共 12 页
教学过程： 复习：1、复习约束与约束反力概念。 2、复习物体受力图的绘制。 新 课： 第三章 空间力系与重心 第一节 力在空间直角坐标系上的投影 1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解 若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α 、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即 X=Y=Z=cosα cosβ (4-1) cosγ 与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐 当力标平面Oxy上，得到力已知角γ和，则力，然后再把这个力投影到x、y轴上。在图4-2中，在三个坐标轴上的投影分别为 第 1 页 共 12 页
X=Y=Z=sinγcossinγsincosγ 、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、 (4-2) 若以图4-2 =++j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 =Xi+Yj+Zk (4-3) 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为: =Yj，=Zk (4-4) 由此，力=Xi，如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为 = cos(,i)= cos(,j)= (4-5) cos(,k)= 的作用。已知斜齿 例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。 第 1 页 共 12 页
解:先将力Z=-=再将力X=-Y=-则=-向z轴和Oxy平面投影，得 sinα cosα 向x、y轴投影，得 sinβ=-cosβ=-cosαsinβ cosαcosβ 沿各轴的分力为 cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk 式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。称为轴向力， 称为圆周力，称为径向力。 第二节 力对轴的矩 1．力对点的矩 对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足以概括它的全部要素。但是在空间的情况下，不仅要考虑力矩的大小、转向，而且还要注意力与矩心所组成的平面的方位。方位不同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。例如，作用在飞机尾部铅垂舵和水平舵上的力，对飞机绕重心转动的效果不同，前者能使飞机转弯，而后者则能使飞机发生俯仰。因此，在研究空间力系时，必须引人力对点的矩这个概念;除了包括力矩的大小和转向外，还应包括力的作用线与矩心所组成的平面的方位。这三个因素可以用一个矢量来表示:矢量的模等于力的大小与矩心到力作用线的垂直距离h(力臂)的乘积;矢量的方位第 1 页 共 12 页
和该力与矩心组成的平面的法线的方位相同;矢量的指向按以下方法确定:从这个矢量的末端来看，物体由该力所引起的转动是逆时针转向，如图4-7所示。也可由右手螺旋规则来确定。 力对点O的矩的矢量记作=h=2△OAB 。即力矩的大小为 式中△OAB为三角形OAB的面积。 由图4-7易见，以r表示力作用点A的矢径，则矢积r×OAB面积的两倍，其方向与力矩矢=r×的模等于三角形一致。因此可得 (4-11) 上式为力对点的矩的矢积表达式，即:力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。 若以矩心O为原点，作空间直角坐标系Oxyz如图4-7所示，令i、j、k分别为坐标轴x、y、z方向的单位矢量。设力作用点A的坐标为A(x,y,z)，力在三个坐标轴上的投影分别为X、Y、Z，则矢径r和力分别为 ｒ=xi＋yj＋zk =Xi+Yj+Zk 代人式(4-11)，并采用行列式形式，得 =r×F = =(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(zY-yX)k?? (4-12) 由于力矩矢量的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为定位矢量。 2．力对轴的矩 第 1 页 共 12 页
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