实数完备性六大基本定理及闭区间套定理的运用

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实数完备性六大基本定理及闭区间套定理的运用

作者：车宗原

来源：《中国科技博览》2016年第21期

[摘 要]随着数学学科的进步与发展，人类对数系的了解也不断深入。从有理数到无理数，是人类在数系认识上的一次飞跃。而由有理数和无理数共同组成的集合——实数集，具有完备性这一基本性质。实数的完备性可以用确界存在定理、单调有界收敛定理、闭区间套定理、致密性定理，柯西收敛定理和有限覆盖定理刻画，这六个定理彼此等价，可用圆周法循环证明。其中，闭区间套定理能够在已知“整体性质”的情况下刻画 “局部性质”，可以通过闭区间套的构造来完成数学分析中其他定理的证明。

[关键词]数系 实数的完备性 闭区间套定理 循环证明

中图分类号：TP260 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）21-0392-02 引言

实数系具有完备性这一重要性质，现代数学尤其是分析正是建立在这一基础之上，它可由实数系六大基本定理刻画。历代数学家用各种方法证明了实数完备性六大定理，除了常见的圆周法循环证明外，还有各种等价性证明。这些证明方法里蕴含着对这六大定理及其运用方法和技巧的理解。这六大定理也可以运用于数学分析中其他定理的证明。其中，通过构造闭区间套运用闭区间套定理能够解决分析中其他问题。通过对这六大定理的了解和应用，能够了解如何用分析的语言来刻画数学定理，领略数学证明的魅力。 1.实数理论的建立 1.1 从有理数到无理数

数是数学中的基础概念。数学不断发展进步，与此同时，数系也不断扩展。人类很早就认识了有理数。在公元前五世纪，毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，当时所有人都坚定不移地认为“一切数均可表示成整数或者整数之比”。然而，毕达哥拉斯的学生希帕索斯一天突然想用勾股定理来测度等腰直角三角形的斜边与直角边之比，却发现这个值无法测度，于是提出了无理数的存在。这一发现震惊了当时整个数学界，人们无法否认无理数的存在，然而之前长期的认识使得人们同样无法接受它，这一问题持续了千年之久。

在希帕索斯提出无理数之后，人类才开始意识到有理数并不完美，然而当时的数学还并不能很好地解释无理数的存在。直到18世纪，基本常数圆周率和自然常数e等被数学家证明是