第六讲 空间向量及其运算
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测 知识梳理
知识点一 空间向量的有关概念 1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量，其大小叫做向量的__长度__或__模__．
(2)相等向量：方向__相同__且模__相等__的向量．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线__平行__或__重合__，则这些向量叫做__共线向量__或__平行向量__．
(4)共面向量：平行于同一__平面__的向量叫做共面向量． 2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
→→
(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作 a，b ，其范围是 0≤π
a，b≤π ，若a，b＝，则称a与b__
2
互相垂直__，记作a⊥b．
向量a，b的数量积a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 ． (2)空间向量数量积的运算律 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； 交换律：a·b＝b·a；
分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c ． 知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直 模 夹角 向量表示 a·b a＝λb(b≠0) a·b＝0(a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0) 坐标表示 __a1b1＋a2b2＋a3b3__ __a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__ __a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__ cos〈a，b〉＝ 22a21＋a2＋a3 a1b1＋a2b2＋a3b32＋a2＋a2·a1232＋b2＋b2b123 重要结论
1．向量三点共线定理
→→→
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理
→→→→
在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
双基自测
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论中正确的是( AC ) A．空间中任意两个非零向量a，b共面 B．对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c
→→→→C．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0 D．若a·b<0，则a，b是钝角 题组二 走进教材
2．(必修2P97A组T2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1
→→→→
的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( A )
11
A．－a＋b＋c
2211
C．－a－b＋c
22
11
B．a＋b＋c
2211
D．a－b＋c
22
111→→→→1→→
[解析] BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c．
2222
3．(必修2P98T3)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为 2 ．
→→→→→→→→→→→→→→
[解析] |EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
→
∴|EF|＝2，∴EF的长的2． 题组三 考题再现
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( D ) A．－1 5C．
3
4B．
37D．
5
[解析] 由题意，得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k7－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝．
5
5．(2019·晋江模拟)设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且111→→→→
OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为 (，，) ．
444
[解析] 如图所示，取BC的中点E，连接AE．
3→1→3→1→→3→1→→→→3→3→→
则OG＝OG1＝(OA＋AG1)＝OA＋AE＝OA＋(AB＋AC)＝OA＋(OB－OA＋OC－
444244441→1→→→
OA)＝(OA＋OB＋OC)，∴x＝y＝z＝．
44
6．(2020·吉林省吉林市调研)在空间直角坐标系O－xyz中，A(2，0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,5)，D(2，3,5)，则四面体ABCD的外接球的体积为 36π ．
[分析] 由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD外接球的直径．
[解析] 取E(2，0,5)，F(2，3,0)，G(0,3,5)，O(0,0,0)，则OAFB－CEDG是长方体，其
对角线长为l＝
l44
?2?2＋32＋52＝6，∴四面体ABCD外接球半径为r＝＝3.V＝πr3＝π×33
233
＝36π，故答案为：36π．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 空间向量的线性运算——自主练透
例1 (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
→1→1→→
①化简A1O－AB－AD＝ A1A ．
22
1→1→→→→→→→
②用AB，AD，AA1，表示OC1，则OC1＝ AB＋AD＋AA1 ．
22→
(2)在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA，→→→→OB，OC表示MG，OG．
→1→1→→1→→→→→→→
[解析] (1)①A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A．
222→1→1→→
②因为OC＝AC＝(AB＋AD)．
22
→→→1→→→1→1→→
所以OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1．
222→→→1→2→
(2)MG＝MA＋AG＝OA＋AN
231→2→→
＝OA＋(ON－OA) 231→21→→→＝OA＋[(OB＋OC)－OA] 232
1→1→1→＝－OA＋OB＋OC．
633
→→→1→1→1→1→OG＝OM＋MG＝OA－OA＋OB＋OC
26331→1→1→
＝OA＋OB＋OC． 333名师点拨 ?
(1)用基向量表示指定向量的方法
用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．
(2)向量加法的多边形法则
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．
提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算． 〔变式训练1〕
→→
如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1＝a，AB＝b，→
AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
→(1)AP； →→(2)MP＋NC1．
[解析] (1)因为P是C1D1的中点， →→→→所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P →1→＝a＋AD＋D1C1
2
1→1
＝a＋c＋AB＝a＋c＋b．
22
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