【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法；频率分布直方图． 【分析】（1）利用古典概型的概率公式，即可得出结论；
（2）由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，列举基本事件，即可求这两人获得相等优惠金额的概率 【解答】解（1）设事件A=“某人获得优惠金额不低于300元”， 则
．
（2）设事件B=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，
由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，
分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出两人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个． 其中使得事件B成立的为b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个 则
．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．
（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直?面面垂直；
（II）先求得三棱锥B1﹣ABC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解． 【解答】（Ⅰ）证明：由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1． 又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以AB⊥平面BB1C1C， 又AB?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥BB1C1C．…
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（Ⅱ）解：设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1． 由（Ⅰ）知，CO⊥平面ABB1A1，且CO=连结AB1， 则因
==
?CO=AB2?CO==
=
．… ， =2
．…． BC=
AB=
．
故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积
20．已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆C过点（
，
）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设不过坐标原点O的直线与椭圆C交于P，Q两点，若OP⊥OQ，证明：点O到直线PQ的距离为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）设椭圆的标准方程： +=1（a＞b＞0），由题意可得：，
解得即可得出．
（II）当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由OP⊥OQ，可得=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0，把根与系数的关系代入可得：5m2=4+4k2．利用点O到直线PQ的距离d=斜率不存在时，验证即可得出． 【解答】解：（I）设椭圆的标准方程：
+
=1（a＞b＞0），
，即可证明．当直线PQ
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由题意可得：，解得a=2，b=1，c=．
∴椭圆C的方程为=1．
（II）证明：当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立△＞0， x1+x2=
，x1x2=
，
，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
∵OP⊥OQ，
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）∴（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0， ∴
化为：5m2=4+4k2． ∴点O到直线PQ的距离d=
=
=
为定值．
﹣
+m2=0，
当直线PQ斜率不存在时也满足上述结论． ∴点O到直线PQ的距离d=
21．已知函数f（x）=x﹣1+
（∈R，e为∈自然对数的底数）． 为定值．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）无极值；当a＞0时，由f′（x）=0，得ex=a，x=lna，求得单调区间，可得f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值；
（2）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+
，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）
没有公共点?方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案． 【解答】解：（1）由f（x）=x﹣1+①当a≤0时，f′（x）＞0，
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，可得导数f′（x）=1﹣，
f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，则f（x）无极值； ②当a＞0时，由f′（x）=0，得ex=a，即x=lna， x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0，x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，
即有f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值． 综上，当a≤0时，f（x）无极值；
当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值； （2）当a=1时，f（x）=x﹣1+
，
，
令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（
）=﹣1+
＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解， 与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1． 又k=1时，g（x）=
＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
四.选做题（请考试在第22、23、24三道题任选一题作答）[选修4-1：几何证明选讲] 22．CD是∠ACB的角平分线，AB=2AC △ADC的外接圆交BC于点E，如图，在△ABC中，（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．
【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；
（Ⅱ）根据割线定理得BD?BA=BE?BC，从而可求AD的长． 【解答】（Ⅰ）证明：连接DE， ∵ACED是圆内接四边形， ∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有又∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE， ∴BE=2AD；…
（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，
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，
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