(1)求出m，n的值；
2和s2，并由此分析两组(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s甲乙
技工的加工水平．
11
解：(1)根据题意可知：x甲＝(7＋8＋10＋12＋10＋m)＝10，x乙＝(9＋n＋10＋11＋
5512)＝10，
所以m＝3，n＝8.
122222
(2)s2甲＝[(7－10)＋(8－10)＋(10－10)＋(12－10)＋(13－10)]＝5.2， 5122222s2乙＝[(8－10)＋(9－10)＋(10－10)＋(11－10)＋(12－10)]＝2， 5
2因为x甲＝x乙，s2甲＞s乙，
所以甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．
2．某大学艺术专业的400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据按[20,30)，[30,40)，…，[80,90]分成7组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计总体的众数；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女学生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
70＋80解：(1)由频率分布直方图可估计总体的众数为＝75.
2
(2)由频率分布直方图可知，样本中分数在区间[50,90]内的人数为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10×100＝90.
因为样本中分数小于40的学生有5人，
所以样本中分数在区间[40,50)内的人数为100－90－5＝5.
5x
设总体中分数在区间[40,50)内的人数为x，则＝，解得x＝20，
100400故估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为20.
(3)由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的人数为(0.04＋0.02)×10×100＝60. 因为样本中分数不小于70的男女学生人数相等， 所以样本中分数不小于70的男生人数为30. 因为样本中有一半男生的分数不小于70， 所以样本中男生的人数为60，女生的人数为40.
由样本估计总体，得总体中男生和女生人数的比例约为3∶2.
第三节 变量间的相关关系与统计案例
一、基础知识
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
体现的不一定是因果关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
^^^
(2)回归方程为y＝bx＋a，其中
(3)通过求Q＝? ?yi－bxi－a?的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到
2
i＝1n
回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关； 当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验 (1)2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
x1 x2 总计
(2)独立性检验
y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d n?ad－bc?2
利用随机变量K(也可表示为χ)的观测值k＝(其中n＝a＋b＋c
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
2
＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
二、常用结论
^^
(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a，b，应充分利用回归直线过样本中心点 (x，y)．
(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．
^
(3)根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
考点一 回归分析
考法(一) 求线性回归方程
[典例] (2019·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量x，y的几组数据如下表所示：
x y 2 3 4 6 6 7 8 10 10 12 (1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图； ^^^
(2)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并估计当x＝20时y的值．
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