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图8 图9

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§1．3 因动点产生的直角三角形问题

课前导学

我们先看三个问题：

1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．

图1 图2 图3

如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．

我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．

如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．

设OC＝m，那么

34?m?． m1这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交

点． 图4

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例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题

如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′、B′．

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P在抛物线E1上运动，可以体验到，点P始终是线段OP′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB′有两个．

思路点拨

1．判断点P是线段OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P′的坐标．

2．分别求线段AA′∶BB′，点P到AA′的距离∶点P′到BB′的距离，就可以比较△PAA′与△P′BB′的面积之比．

图文解析

（1）当x＝1时，y＝x2＝1，所以A(1, 1)，m＝1． 设抛物线E2的表达式为y＝ax2，代入点B(2,2)，可得a＝

11．所以y＝x2． 22（2）点Q在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB′存在两种情况：

图3 图4

①如图3，过点B作BB′的垂线交抛物线E1于Q，那么Q(2, 4)． ②如图4，以BB′为直径的圆D与抛物线E1交于点Q，那么QD＝

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1

BB?＝2． 2

设Q(x, x2)，因为D(0, 2)，根据QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4． 解得x＝?3．此时Q(3,3)．

（3）如图5，因为点P、P′分别在抛物线E1、E2上，设P(b, b2)，P′(c,

212c)． 212cPMP?Nb2因为O、P、P′三点在同一条直线上，所以，即． ??OMONbc所以c＝2b．所以P′(2b, 2b2)．

如图6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA′＝2，BB′＝4．

由A(1, 1)、P(b, b2)，可得点P到直线AA′的距离PM ′＝b2－1． 由B(2,2)、P′(2b, 2b2)，可得点P′到直线BB′的距离P′N′＝2b2－2． 所以△PAA′与△P′BB′的面积比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4．

图5 图6

考点延伸

第（2）中当∠BQB′＝90°时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法： 方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2． 所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42． 方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′H·BH． 所以(x2－2)2＝(x＋2) (2－x)．

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