小学数学教师招聘考试专业知识

数学教师招聘考试 专业知识复习

一、复习要求（由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点）

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义； 2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系； 5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

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则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、充分条件与必要条件

（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；

（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当A?B时，p是q的充分条件。B?A时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；

（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。

二、学习指导

1、集合的概念：

（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：

（1）元素与集合的关系，用?或?表示；

? （2）集合与集合的关系，用?，??，=表示，当A?B时，称A是B的子集；当A?B时，称

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6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。

三、典型例题

例1、已知集合M={y|y=x+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解题思路分析：

在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴ M∩N=M={y|y≥1}

说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已知集合A={x|x-3x+2=0}，B+{x|x-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。 解题思路分析：

化简条件得A={1，2}，A∩B=B?B?A

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2} 当B=φ时，△=m-8<0 ∴ ?22?m?22

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A是B的真子集。

3、集合运算

（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；

（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）， CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。 4、命题：

（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题； （2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；

（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q

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???0当B={1}或{2}时，?，m无解

1?m?2?0或4?2m?2?0??1?2?m当B={1，2}时，?

1?2?2?充分性：设a，b满足17a+4b=11 ∴ b?11?17a 4代入?方程：ax?y?整理得：(y?∴ m=3

综上所述，m=3或?22?m?22

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。 解题思路分析：

假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾 ∴ 假设不成立

∴ x、y中至少有一个大于1

说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。

例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。

解题思路分析：

利用“?”、“?”符号分析各命题之间的关系 D?C?B?A

∴ D?A，D是A的充分不必要条件

说明：符号“?”、“?”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。 例5、求直线?：ax-y+b=0经过两直线?1：2x-2y-3=0和?2：3x-5y+1=0交点的充要条件。 解题思路分析：

从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。 ?2x?2y?3?01711由 ?得?1，?2交点P（,）

44?3x?5y?1?011?17a?0 41117)?a(x?)?0 44此方程表明，直线?恒过两直线y?而此点为?1与?2的交点 ∴ 充分性得证 ∴ 综上所述，命题为真

11171711?0,x??0的交点（,） 4444说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“?”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。

四、同步练习

（一） 选择题

1、设M={x|x+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是

?A、{a}=M B、M??{a} C、{a}?M D、M?{a}

2、已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是 A、 [0，2] B、（-2，2） C、（0，2] D、（0，2）

3、已知集合M={x|x=a-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b-b，b∈R}，则M，N的关系是

?A、 M??N B、M?N C、M=N D、不确定 4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是

A、11 B、10 C、16 D、15 5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15 B、16 C、31 D、32 6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真

C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真 7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3?+1，?∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是

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∵ ?过点P ∴ a?1711??b?0 44∴ 17a+4b=11

????A、S??B?A B、S=B?A C、S?B=A D、S?B=A

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应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。

（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。

求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。

函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。

求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。

在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。

2、函数的通性

（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，

9、方程mx+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 A、0

10、已知p：方程x+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 充要条件 D、既不充分又不必要条件 （二） 填空题 11、已知M={m|2

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m?4x?3?Z}，N={x|?N}，则M∩N=__________。 22 12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。

13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。

14、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。

15、非空集合p满足下列两个条件：（1）p?（2）若元素a∈p，则6-a?{1，2，3，4，5}，

∈p，则集合p个数是__________。 （三） 解答题

16、设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求a取值范

围。

17、已知抛物线C：y=-x+mx-1，点M（0，3），N（3，0），求抛物线C与线段MN有两个不

同交点的充要条件。

18、设A={x|x+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=φ，A∩N=A，

求p、q的值。

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应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(?x)?f(x)?0，≠0）。

奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。 利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。

f(?x)??1（f(x)f(x)12

19、已知a?x?，b=2-x，c=x-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。

22函 数

一、复习要求

7、函数的定义及通性； 2、函数性质的运用。

（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。

（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。 3页

二、学习指导

1、函数的概念：

（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对