东北大学高数试题上

一、高等数学试题 2007/1/14

二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分）

1.lim(1?sin3x)x?012x 2.方程x5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)共有______个根. ?________．? 3.

??(x2?27?1)sin2xdx?_________.

4.

arctanx ?x(1?x)dx?________．5.球体半径的增长率为0.02m/s，当半径为2 m时，球体体积的增长率为_________.

n!xn6. 幂级数?n的收敛半径R? .

n?0n?三、计算题(6分?4 = 24分)

?x?lntd2y1.设?,求2. 3y?tdxt?1?2.求lim?1??1??. x?0x2xtanx??3.求

?x24?x?2dx.

4．已知

?(?1)n?1n?1un?2,

?un?1?2n?1?5, 求?un

n?1?四、(10分)设y = xe?x (0 ? x < +?)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所

围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积. 五、(8分) 将函数f(x)?1展开成(x?1)的幂级数．并给出收敛域。 2x?4x?3x?x2,0?x?1六、(8分)设f(x)??适当选取a, b值，使f (x)成为可导函数，令?(x)??f(t)dt，并求

0x?1,?ax?b,出?(x)的表达式.

七、(6分)设f (x)具有二阶连续导数，且f (a) = f (b), f ?(a) > 0, f ?(b) > 0, 试证：???(a, b)，使f ??(?) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.e 2.1 3.三、1. 9. 2.

32?2 4.(arctanx)?C 5. 0.32? 6.e. 21x1. 3. 2arcsin?x4?x2?C. 4.8. 322四、极大值y(1)?五、y?Word 资料

??513?123?2?, 拐点?2,2?，面积A??2，体积V??2?4?。

4?ee?eee?e?2x. 22x?1?x3,x?1??3六、a = 2, b = ?1, ?(x)??.

?x2?x?1,x?1?3?

二、高等数学试题 2008/1/14

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. y?e32x?sin(xy)?0在x?0处的切线方程是 ．

2. 一个圆锥形容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m，则灌入水时水的体积V对水面高度h的变化率

为 ．

3．曲线y?x?6x?12x?4的拐点为 ． 4．f(x)?321展开成x ? 2的幂级数为 1?x?3?x2, 0?x?1;??2三、（7分）设 f(x)?? 试研究函数f(x)在[0, 2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.

?1, 1?x?2.??x四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1. limx?0ln(1?2sinx).

1?x?1?x1x2. lim?x?0?sinx??. x???d2y?x?ln1?t23. 设?， 计算2．

dx??y?arctant 4. 计算积分 5. 计算积分

2ln(x?1?x)dx． ??1121?x2dx． x2x3x5x2n?1??????????在收敛域上的和函数. 6. 求幂级数x?352n?1五、（7分）由曲线y?0，x?8，y?x围成曲边三角形OAB，其中A为y?0与x?8的交点，B为y?x222与x?8的交点．在曲边OB上求一点，过此点作y?x的切线，使该切线与直线段OA，AB所围成的三角形面积为最大．

六、（7分）求心形线r?a(1?cos?)与圆r?3acos?所围图形公共部分. 七、（7分）设f (x)是(??, +?)的可微函数，且满足：

Word 资料

(1) f (x) > 0 x ? (??, +?),

(2)存在0 < ? <1, 使得| f ?(x)| < ? f (x), x ? (??, +?). 任取a0 ? (??, +?), 定义an = ln f (an?1), (n = 1, 2, ???), 证明

?(an?1?n?an?1)绝对收敛.

八、（4分）设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f??(x)?0，证明?f(x)dx?(b?a)f(aba?b)． 2答案：一、1. B. 2. A. 3. A. 4.C.

14二、1. y?x?1. 2. ?h2. 3. (2,12). 4.

253(?1)n(x?2)n. ?n?1n?03?d2y1?t211?x22??四、1.2. 2.1, 3. , 4. 5. lnxln(x?1?x)?1?x?Cdx2t321?x(?1 < x < 1), 6. y?C1cos2x?C2sin2x? 五. (12xcosx?sinx. 3916256,). 3952

六. ?a。

4

八．提示：f(x)在x? 七。提示：两边求导解微分方程。

a?b处的一阶Taylor公式为 2

三、高等数学试题 2009/1/16

二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共计1５分）

1??(cosx)x21. 已知f(x)????ax?0在x?0处连续，则a = ． x?02. 设函数f (x)可导，y = f (sin2x)，则dy = ．

3．函数f (x) = ex的３阶麦克劳林公式为 ． 4．质点以速度tsint2(米?秒)做直线运动，则从时刻t1??2(秒)到t2??(秒)质点所经过的路程等于＿＿＿

(米)．

5．以y1 = cos2x, y2 = sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．

1?2xsin?三、（８分）设函数 f(x)??x??xsinx1. limx(x???x?0x?0，求f ?(x).

四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）．

?22?arctanx).

2.

?x24?xdx.

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