2020届高考数学(理)课标版二轮复习训练习题：重难考点专题三第3讲 空间向量与立体几何

4.(2019陕西第二次教学质量检测)如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面ABE⊥平面EBD;

(2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为√43.

解析 (1)证明:∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD,ED?平面ADEF, ∴ED⊥平面ABCD, ∵AB?平面ABCD, ∴ED⊥AB.

∵AB=1,AD=2,∠BAD=60°, ∴BD=√1+4-2×1×2cos60°=√3, ∴AB2+BD2=AD2, ∴AB⊥BD.

又BD?平面EBD,ED?平面EBD,BD∩ED=D, ∴AB⊥平面EBD.

又AB?平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.

(2)以B为坐标原点,BA,BD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系,

√3则A(1,0,0),B(0,0,0),C(-1,,0),D(0,√3,0),E(0,√3,2),F(1,0,1), 22

√3???? =(1???? =(1,0,0),????? =(0,0,2),??????? =(1,-√3,-1),???? =(0,√3,2). 则????,,0),????????????

22

????? =λ???? =(λ,-√3λ,-λ)(0≤λ≤1), 设????????????? =???? +????????? =(λ,√3-√3λ,2-λ). 则????????

设平面ECD的法向量为m=(x1,y1,z1),平面MAB的法向量为n=(x2,y2,z2),

?????

则{??·CD=0,即{2x1+2y1=0,

???? =0,??·?DE2z1=0,

1

√3取y1=1,则m=(-√3,1,0);

x=0,???? =0,??·?BA

{即{2取y2=2-λ,则

?????? =0,??x2+(√3-√3λ)y2+(2-λ)z2=0,??·BM

n=(0,2-λ,√3λ-√3).

∵平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为√43,

|??·??|∴|cos|=|??|=·|??||2-??|22√4λ-10λ+7

5

=√43,解得λ=1或λ=(舍), 24∴点M在线段EF的中点时,平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为√43.