[B组 大题增分专练]
1．(2019·济南市七校联合考试)“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇2009～2018年梅雨季节的降雨量(单位：mm)的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
(1)“梅实初黄暮雨深”，请用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量；
(2)“江南梅雨无限愁”，Q镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成)，而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量(单位：kg)与降雨量的发生频数(年)如2×2列联表所示(部分数据缺失)，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？(完善列联表，并说明理由)
降雨量 亩产量 <600 ≥600 总计 2
[200，400) 2 [100，200)∪[400，500] 总计 10 1 n（ad－bc）2附：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） P(K2≥k0) k0 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 解：(1)频率分布直方图中第四组的频率为1－100×(0.002＋0.004＋0.003)＝0.1. 所以用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量为
150×0.2＋250×0.4＋350×0.3＋450×0.1＝30＋100＋105＋45＝280(mm)．
(2)根据频率分布直方图可知，降雨量在[200，400)内的频数为10×100×(0.003＋0.004)＝7.
进而完善列联表如下．
降雨量 亩产量 [200，400) [100，200)∪[400，500] 总计
<600 ≥600 总计 22
2 5 7 2 1 3 4 6 10 10×（2×1－5×2）80K＝＝≈1.270<1.323.
7×3×4×663
故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.而甲品种杨梅受降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅受降雨量影响更小．
2．(2019·佛山模拟)表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩： 学号 数学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 111211131312121211111111112220 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 11111212111212131296 610101296 87 8 83 6 9 4 4 1 5 5 3 5 7 3 2 2 9 8889789778878885 6 0 774物8理 0 4 3 5 9 1 1 8 5 1 2 6 7 2 9 2 4 9 3 3 7 5 学2222222333333333344444号 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 数学 101389101110121278131097 7111076 5100 66812108 7 87 5 758 7 4 8 5 76670 4 1 555 1 766 2 762 6 460 1 76物7理 6 0 1 7 2 5 9 9 5 6 7 3 0 5 3 9 4 2 2 7 5 用这44人的两科成绩制作如下散点图：
学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A，B两同学的成绩(对应于图中A，B两点)剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩x^
与物理成绩y的相关系数r＝0.822 2，回归直线l(如图所示)的方程为y＝0.500 6x＋18.68.
(1)若不剔除A，B两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩x与物理
成绩y的相关系数为r0，回归直线为l0，试分析r0与r的大小关系，并在图中画出回归直线
l0的大致位置．
(2)如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数(精确到个位)．
(3)就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？(通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式Zi＝
xi－x统一化成标准分再进行比较，其中sxi为学科原始成绩，x为学科平均分，s为学科标准差)
解：(1)r0 ①离群点A，B会降低变量间的线性关联程度； ②44个数据点与回归直线l0的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； ③42个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大； ④42个数据点更加贴近回归直线l； ⑤44个数据点与回归直线l0更离散． 其他言之有理的理由均可． (直线l0的斜率须大于0且小于l的斜率，具体位置稍有出入没关系，无需说明理由) ^ (2)将x＝125代入y＝0.500 6x＋18.68中， 得y＝62.575＋18.68≈81， 所以估计B同学的物理分数大约为81分． (3)由表中数据知C同学的数学原始成绩为122分，物理原始成绩为82分， 则数学标准分Z16＝物理标准分Z′16＝ x16－x122－110.511.5 ＝＝≈0.63， s118.3618.36y16－y82－748 ＝＝≈0.72， s211.1811.18 因为0.72>0.63，所以C同学物理成绩比数学成绩要好一些． 3．(2019·济南市模拟考试)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装． 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换．若客户在安装净水系统 的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元．二级滤芯每个160元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图1是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表1是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表． 二级滤芯更换的个数 频数 表1 以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率． (1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率； (2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望； (3)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数，若m＋n＝28，且n∈{5，6}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值． 解：(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯． 设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A，因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064. (2)由柱状图可知， 一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10，11，12，对应的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意，X可能的取值为20，21，22，23，24，并且P(X＝20)＝0.2×0.2＝0.04， 5 60 6 40 P(X＝21)＝0.2×0.4×2＝0.16， P(X＝22)＝0.4×0.4＋0.2×0.4×2＝0.32， P(X＝23)＝0.4×0.4×2＝0.32， P(X＝24)＝0.4×0.4＝0.16.
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