线性代数复习题 第一章 矩阵
一、 填空题
1.矩阵A与B的乘积
AB有意义，则必须满足的条件是 。
AB?(cij)m?n，问cij? 。
22.设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,又
3.设A与B都是n级方阵，计算(A?B)? , (A?B)2? ,
(A?B)(A?B)? 。
4.设矩阵A???12??,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 34?? （注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）
?20?1???T5.设X?(1,2,1),Y?(2,1,?3),A?013,计算XAY? 。
????122???（特别地，若X,Y为字母向量时也应该会表达，见讲义习题1.1.7）
AB与BA都有意义，问A与B的关系为 ；又若AB与BA为
同级方阵，问A与B的关系为 。
7.设?是一个列向量，k是一个数，分析k?与?k的意义 6.设矩阵
，两者是否相等？答： 。 8.设向量???1,2,3?,??(1,1,1)T，则??? ，??? 。 ?20?100?，则A? 。
?03?9.设矩阵A???200????110.设矩阵A?012，则A? 。
???035???11.设准对角矩阵A???A1?00??,f(x)是多项式，则f(A)? 。 A2??123???12.设矩阵A?456，则A的秩R(A)? 。
???789???13.设A 是n阶方阵14.设A是矩阵
*
*
A的伴随矩阵, A?d,则AA?? 。
A 的伴随矩阵，则AA*?A*A?_____________.
1
?123???*
15.矩阵A?23?5的秩为__________，A 的伴随矩阵A= 。
???471???16.设
A是3阶可逆方阵，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。
?102???17.设A?040，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。
???203???18.试写出n阶方阵
A可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。
中(2,1)-元的代数余子式 ，
?123???19.设矩阵A?23?5，试写出行列式A???471???A中第三行
元素的代数余子式之和= 。
20.设B是3?4矩阵且R(B)?2，则B的等价标准形为 。 21.设R(Am?n)?n，则
A的等价标准形为 。
22.设A???12?2?，f(x)?x?2，则f(A)? 。 ?11??120?1???23.设A?2013，则A的等价标准形为 。
???5225????1?324.设A???0??026.已知矩阵
240000350??0??1，则A? 。25. 4??7?000a00b0? 。
0c00d000A满足A2?2A?3E?0，则A?1? 。 A可逆，则A*? 。
27.设n阶矩阵
28.试写出矩阵秩的定义 。 29.试写出n阶行列式按第一列展开的定义 。 30.已知四阶行列式
D中第三列元素依次为
?1,2,0,1，它们的代数余子式依次分别为
5,?3,?7,?4，则D=_______。
31.已知A,B,C为同阶方阵,且C可逆,若C32.设A,33.设A,
?1AC?B,则C?1AmC? (m是整数)。
B,C,D均为n阶方阵，且ABCD?E，则(BC)T(DA)T?________________。 B,C均为n阶方阵，且ABC?E，则BT(CA)T?______________。
2
34.若
A，B都是n阶方阵，A?1，B??3，则3A*B?1?_____________。
?1?23????10035.设矩阵A??2, 则 A?______________。
???749???二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）
1.设矩阵A,B满足
AB?0，则A?0或B?0。 2.矩阵乘法适合交换律。
23.设A,B是n级方阵，则(A?B)4.设A,B,C是同级方阵，若5.设?1,?2是方程组
?A2?2AB?B2,A2?B2?(A?B)(A?B)。
AB?AC，则B?C。
AX??的解，则?1??2是AX??的解，?1??2是AX?0的解。
AX?0的解，则?1??2是AX?0的解。
6.设?1,?2是线性方程组7.设?1,?2是线性方程组
AX??的解，则k?1?(1?k)?2是AX??的解，k是任意常数。
?010??100??102???????8.矩阵100可逆，且其逆为其本身。类似有030，010同样问题。
???????001??001??001???????9.设
A是n阶矩阵，则kA?kA。
10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零） 11.若方阵
A可逆，则其伴随矩阵A*也可逆。 12.n阶方阵A满足A2?A?2E?0，则E?A可逆。
13.若
A2?0，则必有A?0。 14.设A是n阶方阵， 且A?a?0， 则 A*?A满足A2?A，则A?E或A?0。
11?。 Aa15.方阵16.设
A,B都是n阶方阵,若A,B都可逆,则A?B可逆。
17.若矩阵A的秩为r，则A中必有某一个r?1阶子式不等于零。
18.若n阶方阵
A的秩R(A)?n?1，则其伴随阵A*?0。
三、解答题
1.求
325103A??1?1?23201104，
102?22131130141，
4?123011232112301，
4114?11121111211112。
3
a2.求Dba?baa?bab。
?ba?b?131???214??T3.已知矩阵A???1?13??，B??0?12?，计算AB,AB?AB。
???1?31???4.设3阶方阵
A的伴随矩阵为A?，且A?1?1?，求(4A)?2A2。
?1?25.已知A???0??1010112110?0??，求逆阵A?1。 0??1?。
?23??213????123???142?，求
26.设A?1A????1?21??????8?32????12?????1?17.设A???0??0?110010200???1?11????1??1?11?。试用矩阵分块方法求BT,AB。 ,B???00?1?0????00?1??2????8.用两种方法求下列矩阵的逆
?012??211????? A?234,B?001.
?????479??100?????9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积
?1??0?0?0010??1??1??0?0???00200?a?11??0?a?21?a?1??31a12aa22a32??1??a23??0?a33???0131??1 0?01??110.写出下列矩阵的等价标准形
?2?1?11??13???11?21??,??11?4?62?2??11???3?74?3???????13201113???k111?1??1??，1k11（对k讨论）
???02?11k2?????20??1?112???11.设矩阵A?3??12的秩为2，求?，?。
???53?6??? 4
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