第10课时 二次函数综合探究
命题方向·达标检测
江苏
13市2019年中考真题
命题点 二次函数综合探究
1.（2019年徐州中考第17题3分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 ．
【解析】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a， 解得a＝2，故原来的抛物线解析式是：y＝2x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣b）2，把P（2，2）代入，得2＝2（2﹣b）2． 解得b＝0（舍去）或b＝4，所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．
21
1
1
1
1
故答案是：y＝（x﹣4）2．
2
1
2.（2019年淮安中考第26题12分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
（1） 求该二次函数的表达式.
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标． （3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的5？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3
【解析】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3， 将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣16，
3
∴二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3
16
3
（2）依题意，点B（5，0），点D（1，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b ??=?4
3150=5??+??
代入得{，解得{,∴线段BD所在的直线为y＝?x+， 15443=??+????=
43
设点E的坐标为：（x，?x+）,∴ED2＝（x﹣1）2+（﹣x+﹣3）2,EF＝（﹣x+）2,
4
4
4
4
4
4
315315315
∵ED＝EF,∴（x﹣1）2+（﹣4x+4﹣3）2＝（﹣4x+4）2, 整理得2x2+5x﹣25＝0,解得x1＝2，x2＝﹣5（舍去） 故点E的纵坐标为y＝?×+
4
23
515
45
315315
=
158
,∴点E的坐标为(, ),
28
515
（3）存在点G，当点G在x轴的上方时，设点G的坐标为（m，n）， ∵点B的坐标为（5，0），对称轴x＝1,∴点A的坐标为（﹣3，0）, ??=4
0=?3??+??
∴设AD所在的直线解析式为y＝kx+b,代入得{，解得{9, 3=??+????=4∴直线AD的解析式为y＝4??+4,∴AD的距离为5，
过点G作直线AD：3x﹣4y+9＝0的垂线，交点垂足为Q（x，y） 得{，化简得,由上式整理得， 3???4??+9=0（32+42）[（x﹣m）2+（y﹣n）2]＝（3m﹣4n+9）2, ∴|GQ|＝√(?????)2+(?????)2＝|3???4??+9|√32+4234
3
9
3
?(4)=?1?????
?????3
,∴点G到AD的距离为：d1＝
3???4??+9
5
，
由（2）知直线BD的解析式为：y＝?x+，∴BD的距离为5
4
15
∴同理得点G至BD的距离为：d2＝
??????????????????
3??+4???15
5
.
=
1
21????×??2×
2
????×??1×
=
3???4??+93??+4???15
=,整理得6m﹣32n+90＝0
53
3
∵点G在二次函数上，∴n＝?16(???1)2+3, 代入得6m﹣32[﹣16（m﹣1）2+3]+90＝0 整理得6m2﹣6m＝0?m（m﹣1）＝0 解得m1＝0，m2＝1（舍去）
3
此时点G的坐标为（0，45
16
）
当点G在x轴下方时，如图2所示， ∵AO：OB＝3：5
∴当△ADG与△BDG的高相等时， 存在点G使得S△ADG：S△BDG＝3：5
此时，DG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y＝kx， 将点D代入得，k＝3,故y＝3x,则有{
??=3????=
3(???1)2+3
，
16
整理得，（x﹣1）（x+15）＝0,得x1＝1（舍去），x2＝﹣15, 当x＝﹣15时，y＝﹣45,故点G为（﹣15，﹣45） 综上所述，点G的坐标为（0，45
16）或（﹣15，﹣45）
3.（2019年泰州中考第22题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求tan∠ABC．
【解析】解：（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，（a≠0）． 把A（1，0）代入，得0＝a（1﹣4）2﹣3，
解得a＝1
3．故该二次函数解析式为y＝1
3（x﹣4）2﹣3；
（2）令x＝0，则y＝（0﹣4）2﹣3＝．则OC＝．
3
3
3
177
因为二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），A（1，0），则点B与点A关系直线x＝4对称，所以B（7，0）．所以OB＝7．
所以tan∠ABC＝＝＝，即tan∠ABC＝．
????
7
3
3
????
7
311
4.（2019年南通中考第26题10分）已知：二次函数??=??2?4??+3??+2(??是常数)． （1）请写出该二次函数图像的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图像在??≤4的部分与一次函数??=2???1的图像有两个交点，求a的取值范围．
【解析】解：（1）①图像开口向上；②图像的对称轴为直线??=2；③当??>2时，y随x的增大而增大；④当??<2时，y随x的增大而减小；⑤当??=2时，函数有最小值． （2）∵二次函数的图像与一次函数??=2???1的图像有两个交点， ∴??2?4??+3??+2=2???1，即??2?6??+3??+3=0． ?=36?4(3??+3)=?12??+24>0，解得??<2．
∵二次函数的图像在??≤4的部分与一次函数??=2???1的图像有两个交点， ∴二次函数??=??2?6??+3??+3的图像与x轴??≤4的部分有两个交点． 结合图像，可知??=4时， ??2?6??+3??+3≥0． ∴当??=4时， ??2?6??+3??+3=3???5≥0，得??≥3．
∴当二次函数的图像在??≤4的部分与一次函数??=2???1的图像有两个交点时， a的取值范围为≤??≤2．
35
5
5.（2019年苏州中考第28题10分）如图①，抛物线y??x2?(a?1)x?a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知?ABC的面积为6. （1）求a的值；
（2）求?ABC外接圆圆心的坐标；
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