全国初中数学竞赛辅导第12讲平行线问题

全国初中数学竞赛辅导第12讲平行线问题

平行线是我们日常生活中专门常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．

正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的差不多知识及性质成为中学几何的差不多知识．

正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来专门多数学家专门重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着专门重要的作用．

现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在如此一个公理基础之上的：“在平面中，通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．

在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．

例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°

．

分析 由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=

过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．

证 过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，因此b∥l，因此

∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．

因为AC平分∠1，BC平分∠2，因此

又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，因此

∠3+∠4=∠CAE+∠CBF

说明 做完此题不妨想一想那个问题的“反问题”是否成立， 即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”

由于那个问题与上述问题专门相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨仿照原问题的解决方法来试解．

例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．

分析 本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案明显与所给的三个角的大小无关．也确实是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大致是零，即

∠A1+∠A2=∠B1． ①

猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须通过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．

证 过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)．

因为AA1∥BA2，因此B1E∥BA2．从而

∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，

因此

∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，

即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．