特色专题 高考新元素
一 创新型问题
新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．
创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．
“新定义”问题
新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．
[典型例题]
(1)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且
对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
(2)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0
是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax－5
3x－a＋在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是( )
2
A．(－ ∞，0] 1??C.?－∞，? 2??
2
?1?B.?0，?
?2??1?D.?，＋∞? ?2?
【解析】 (1)法一：不妨设a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，
- 1 -
00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．
法二：设a1，a2，a3，…，ak中0的个数为t，则1的个数为k－t，
t≤k≤2t??k≤8
由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，则?.
t≤4??k，t∈N
当t＝1时，k＝1，2，当t＝2时，k＝2，3，4，
当t＝3时，k＝3，4，5，6，当t＝4时，k＝4，5，6，7，8， 所以“规范01数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)． 法三：前同法二．
t≤k≤2t??k≤8
问题即是?表示的区域内的整点(格点)的个数，
t≤4??k，t∈N
如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范01数列”共有14个．
5522
(2)方程ax－3x－a＋＝－x在区间[1，4]上有解，显然x≠1，所以方程ax－3x－a＋
225
2x－
2
＝－x在区间(1，4]上有解，即求函数a＝2在区间(1，4]上的值域，
x－1
令t＝4x－5，则t∈(－1，11]，a＝当t∈(0，11]时，0 8 8t，当t∈(－1，0]时，a≤0； t＋10t＋9 2 ≤9 t＋10＋2 8 tt×＋10t9 1 ＝，当且仅当x＝3时取等号． 2 1??综上，实数a的取值范围是?－∞，?，故选C. 2??【答案】 (1)C (2)C [对点训练] 1．定义“上升数”是一个数中右边的数字比左边的数字大的自然数(如123，568，2479等)，任取一个两位数，这个两位数为“上升数”的概率为( ) - 2 - 1234A. B. C. D. 5555 解析：选B.两位数10，11，12，…，99共90个，其中十位数为1的“上升数”为12，13，…，19共8个，十位数为2的“上升数”为23，24，…，29共7个，…十位数为8的“上8（8＋1）升数”为89，只有1个，则所有两位数中的“上升数”共8＋7＋6＋…＋1＝＝36 2362 个，则两位数为“上升数”的概率P＝＝，选B. 905 2．(经典考题)定义“函数y＝f(x)是D上的a级类周期函数”如下：函数y＝f(x)，x∈ D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af(x)＝f(x＋T)恒成立，此时T为f(x)的周期．若y＝f(x)是[1，＋∞)上的a级类周期函数，且T＝1，当x∈[1，2)时，f(x)＝2(2x＋1)，且y＝f(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( ) x?5?A.?，＋∞? ?6? C.? B．[2，＋∞) D．[10，＋∞) x?10，＋∞? ? ?3? 解析：选C.因为x∈[1，2)时，f(x)＝2(2x＋1)， 所以当x∈[2，3)时，f(x)＝af(x－1)＝a·2－1)＝af(x－2)＝…＝a＝an－1 2 x－1 (2x－1)，当x∈[n，n＋1)时，f(x)＝af(xn－1 f(x－n＋1)＝an－1·2x－n＋1(2x－2n＋3)，即x∈[n，n＋1)时，f(x) * ·2 x－n＋1 (2x－2n＋3)，n∈N，同理，当x∈[n－1，n)时，f(x)＝an－1 n－2 ·2 x－n＋2 (2x－2n＋ n－2 5)，n∈N.因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a>0且a－n＋2 * ·2 n－n＋1 (2n－2n＋3)≥a·2 n10 ·(2n－2n＋5)，解得a≥.故选C. 3 3．(经典考题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈ S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭 集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合 T也是封闭集．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号) 解析：对于整数a1，b1，a2，b2，有a1＋b13＋a2＋b23＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)3∈S，a1 ＋b13－(a2＋b23)＝(a1－a2)＋(b1－b2)3∈S，(a1＋b13)·(a2＋b23)＝(a1a2＋3b1b2)＋(a1b2＋a2b1)3∈S，所以①正确． 若S为封闭集，且存在元素x∈S，那么必有x－x＝0∈S，即一定有0∈S，所以②正确． 当S＝{0}时，S为封闭集，所以③错误． 取S＝{0}，T＝{0，1，2，3}时，显然2×3＝6?T，所以④错误． 答案：①② - 3 - “新运算”问题 新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算，在准确把握信息本质的基础上，将这种新运算转化为早已熟悉的运算，从而进一步运用已有的知识去分析、解决问题． [典型例题] (经典考题)当x≠1且x≠0时，数列{nx1 * n－1 }的前n项和Sn＝1＋2x＋3x＋…＋nx2 3 2x－ (n∈N)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x＋x＋x＋…＋x(n∈N)按等比数 2 3 n* x－xn＋1列的求和公式，先求得x＋x＋x＋…＋x＝，两边都是关于x的函数，两边同时求导， 1－xn?x－x?′，从而得到S＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝ (x＋x＋x＋…＋x)′＝??n?1－x? 2 3 n＋1 n1－（n＋1）x＋nx2 （1－x） nn＋1 ，按照同样的方法，请从二项展开式(1＋x)＝1＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx出 1 2 3 n122nn发，可以求得，Sn＝1×2×Cn＋2×3×Cn＋3×4×Cn＋…＋n(n＋1)×Cn(n≥4)的值为________．(请填写最简结果)． 【解析】 依题意，对(1＋x)＝1＋Cnx＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx两边同时求导，得n(1＋x) －1 nn12233nnn＝Cn＋2Cnx＋3Cnx＋…＋nCnx1 2 3 1232nn－1 ，① nn－1 取x＝1，得Cn＋2Cn＋3Cn＋…＋nCn＝n×2 1 2 3 ，② n②×2得，2Cn＋2×2Cn＋2×3Cn＋…＋2nCn＝n×2，③ 再对①式两边同时求导， 得n(n－1)(1＋x) 2 3 nn－2 ＝1×2Cn＋2×3Cnx＋…＋n(n－1)Cnxn－2 23nn－2 ， 取x＝1，得1×2Cn＋2×3Cn＋…＋n(n－1)Cn＝n(n－1)×2 1 2 2 n，④ nn－2 ③＋④得1×2Cn＋2×3Cn＋3×4Cn＋…＋n(n＋1)Cn＝n×2＋n(n－1)×2 －2 n＝n(n＋3)×2 n. 【答案】 n(n＋3)×2 n－2 [对点训练] 1．(经典考题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p， q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( ) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)＋(a·b)＝|a||b| 解析：选B.若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．(a⊙b)＋(a·b)＝mq－2mnpq＋np＋(mp＋nq)＝m(p＋q)＋n(p＋q)＝(m＋n)(p 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 4 - ＋q)＝|a||b|，故D正确． 2．(经典考题)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得 222 Sn＝am，则称{an}是“H数列”． (1)若数列{an}的前n项和Sn＝2(n∈N)，证明：{an}是“H数列”； (2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值． 解：(1)证明：由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2 n＋1 n* －2＝2. nnn于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2＝am. 所以{an}是“H数列”． (2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d. 因为{an}是“H数列”， 所以存在正整数m，使得S2＝am， 即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1. 因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1. 当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝总存在正整数m＝2－Sn＝2－的值为－1. 二 古代算术与现代高考 我国是有着五千年文明的古国，具有丰富的文化基础，在数学领域里具有深厚的数学渊源，其中《九章算术》中的一些理论推动着当今科学和数学的发展，随着我国经济建设蓬勃发展，现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上，结合现代高考元素应运而生，这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例，是传统文化与现代科学的有机融合． [典型例题] (1)(2018·高考浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有 鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏 n（3－n） 2 是小于2的整数，n∈N.于是对任意的正整数n， * n（3－n） 2 ，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”．因此dx＋y＋z＝100，?? 各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则?当z＝81时，x1 5x＋3y＋z＝100，?3? ＝______，y＝______． (2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________． - 5 -
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