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3第三章微分中值定理与导数的应用习题

解答23309

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第三章 微分中值定理与导数的应用答案

§3.1 微分中值定理?Skip Record If...?

1． 填空题

（１）?Skip Record If...? （２） 3 , ?Skip Record If...?

2． 选择题

（１） B （２） C （３） B

3．

证明： 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?为一常数．

设?Skip Record If...?，又因为?Skip Record If...?， 故 ?Skip Record If...?．

4．

证明：由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续,在?Skip Record If...?可导,且?Skip Record If...?，根据罗尔定理知，存在?Skip Record If...?， 使?Skip Record If...?． 同理存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?． 又?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上

符合罗尔定理的条件，故有?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．

5．

证明：设?Skip Record If...?， 则?Skip Record If...?，根据零点存在定理至少存在一个?Skip Record If...?， 使得?Skip Record If...?．另一方面，假设有?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?，根据罗尔定理，存在?Skip Record If...?使?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，这与?Skip Record If...?矛盾．故方程?Skip Record If...?只有一个实根．

6．

证明： 由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内可导，从而?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?内连续，在开区间?Skip Record If...?内可导．又因为?Skip Record If...?，根据零点存在定理，必存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?． 同理，存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．因此?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上满足罗尔定理的条件，故存在?Skip Record If...?， 使?Skip Record If...?成立．

7.

证明： 只需令?Skip Record If...?，利用柯西中值定理即可证明.

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8． （１） 证明： 设?Skip Record If...?，函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上满足拉格朗日中值定理的条件，且?Skip Record If...?, 故?Skip Record If...?, 即

?Skip Record If...? (?Skip Record If...?) 因此， 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?． （２） 证明：设?Skip Record If...?，则函数在区间?Skip Record If...?上满足拉格朗日中值定理得条件，有

?Skip Record If...?

因为?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?，又因为?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?，

从而 ?Skip Record If...?．

§3.2 洛毕达法则

1． 填空题 （１）?Skip Record If...? （２） 0 （３）?Skip Record If...? （４）1

２．选择题

（１） B （２） C

3．

（１）解： ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?．

（２）解： ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?．

（３）解：?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?．

（４）解：?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?．

（５） 解： ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?

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