高等数学（上）期末复习

第四章 不定积分

一、重要概念和公式

1.连续函数一定有原函数。 2.基本积分表中易忘公式：

3.换元积分法： 第一类换元法:“凑”

第二类换元法 三角代换

整体代换 4.补充积分公式：

?dx1xa2?x2?aarctana?C?dx1x?ax2?a2?2alnx?a?C?dxx2?a2?lnx?x2?a2

5.分部积分法：∫uv＇dx=uv-∫u＇vdx 6.有理函数的积分：有理真分式

有理假分式

去除 根号

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二、 题型方法总结

1. 计算不定积分思考步骤综述： a. 有理函数积分 b. 第二类换元法 c. 分部积分法 d. 第一类换元法 2. 第一类换元法中的规律： ① 对于sin

2k+1

xcosx或sinxcos

nn2k+1

x（其中k∈N）

型函数的积分，总可依次做变换u=cosx或u=sinx

② 对于sinxcosx（k、l∈N），可降幂升角。 ③ 对于sinx和cosx m为奇数，提出一个凑微分

n

2k

m

m

2k

2l

m为偶数，则降幂升角

④ 对于tanxsecx或tan2k-1

xsecx（k∈N）可依

n+

次作变换u=tanx或u=secx ⑤ 利用三角函数的积化和差公式 3. 第二类换元法：a.注意辅助三角形的运用

4.分部积分法： ①凑微分的先后顺序：

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b.注意定义域

c.用整体代换时的标准为唯一解 d.三角代换常见为根号下二次函数

三角函数 幂函数 对数函数

指数函数 优于 优于 反三角函数 x②对于?esinxdx这类的积分要用两次分部积分。同时两次分部积分中凑微分函数相同。

4. 有理函数的积分的一般方法

① 有理函数化成多项式与有理真分式之和-综合除法 ② 有理真分式化成简单分式之和 a. 分解因式 b. 待定系数法 ③ 简单分式积分： a.?b.?c.?Adx?Alnx?a?C x?aA1dx?A(x?a)?n?1?C n?n?1(x?a)2Ax?B (p<4q) dx2x?px?q 当A=0时，分母配方 当A≠0时，凑分母导数

三、 本章补充知识点 有关三角变换的公式 1.两角和差公式

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2.积化和差公式

3.二倍角公式

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