第五章 定积分
一、基本概念及重要公式
1.微积分基本公式之原函数存在定理的推论 例：[?a
[??(x)f(t)dt]'?f(?(x))??'(x)
f(t)dt]'?f(?(x))??'(x)?f(?(x))??'(x)
?(x)?(x)注：极限问题出现积分变限函数，就考虑导数，利用洛必达法则。
2.牛顿-莱布尼茨公式：若?(x)在[a,b]上可积，且F(x)是?(x)的一个在[a,b]上的原函数，则
?baf(x)dx?F(b)?F(a)。
3.定积分的换元法：注意“三换”。积分区间换，被积函数换，积分变量换。
4.定积分的可加性：5.奇、偶函数的定积分：
a.当f ( x) 为偶函数时, ?f(x)dx?2?f(x)dx。 ?a0b.当 ) 为奇函数时, ??af(x)dx?0。 f (x6.周期函数的定积分公式：
如果T是连续函数f(x)的周期,则
a?TTf(x)dx??f(x)dxa为任何常数.0 ?a 8. 定积分的分部积分法：
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a
aa
二、计算不定积分的思考步骤 1.判断是瑕积分还是有界积分 2.对称区间（考虑是否为奇偶函数） 3.有理函数积分 4.无理函数积分
5.第二类换元法（根式）
6.分部积分（五大类初等函数乘积） 7.第一类换元法（凑微分）
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第六章 定积分的应用
一、定积分在几何上的应用 1.平面图形的面积
①判断X型区域orY型区域及计算公式 X型区域：
y??1(x)、y??2(x)、x?a、x?b(a＜b）围成的区域 S??[?(x)??(x)dx
a12bY型区域：
x??1(y)、x?2?(y)[?1(y)＜?2(y)]、y?c、y?d(c＜d)围成的区域 S??c[?2(y)-?1(y)]dy
X型区域和Y型区域判定：
在x轴上任取一点x，过该点作一条垂直于x轴
的直线去穿区域，与D的边界曲线之交点不多于两个，即一进一出，此区域为X型区域。类似的，在y轴上任取一点y，过该点作一条垂直于y轴的直线去穿区域，与D的边界曲线之交点不多于两个，即一进一出，此区域为Y型区域。
2.极坐标下曲边扇形的面积公式：
d12S?[?(?)]d?[半径?为?(?),中心角为?] ??2?3.空间立体的体积：
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a.旋转体体积（绕坐标轴旋转）：
V???[f(x)]2dx
ab b.平行截面面积为已知的立体的体积：
V??A(x)dx[A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积]ab 4.平面图形的弧长：
a. 直角坐标下曲线的弧长：
2 L??a1?(y')dx
bb．参数方程下曲线的弧长：
?x??(t)(??t??)（已知） ??y??(t)L???'2(t)??'2(t)dt
??b. 极坐标方程下曲线的弧长：
?x??(?)cos?(?????)(已知) ??y??(?)sin? L?????2(?）??'2(?)d?
二、本章补充知识点
1.极坐标：在极坐标中x??cos?,y??sin?
222 ??x?y。
2.参数方程：
圆的参数方程 x=a+rcosθ y=b+rsinθ(θ∈[0，2π)）(a,b)
为圆心坐标，r为圆半径, θ为参数，(x,y) 为经过点的坐标。
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