【提示】延长GP交BC于H，只要证PH＝PF即可，所以只要证∠PBF＝∠PBH． 【答案】∵ BE＝DE，
∴ ∠EBD＝∠EDB．
∵ 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴ ∠DBC＝∠ADB， ∴ ∠EBD＝∠CBD． 延长GP交BC于H点． ∵ PG⊥AD， ∴ PH⊥BC．
∵ PF⊥BE，P是∠EBC的平分线上．
∴ PF＝PH．
∵ 四边形ABHG中，
∠A＝∠ABH＝∠BHG＝∠HGA＝90°． ∴ 四边形ABHG为矩形，
∴ AB＝GH＝GP＋PH＝GP＋PF 故 PF＋PG＝AB．
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AB、CD的中点，ME∥AN交BC于点E，求证
AM＝NE．
【提示】延长AN交BC延长线于点F．证明NE为△ABF的中位线． 【答案】延长AN交BC的延长线于点F，
∵ DN＝CN，∠AND＝FNC，
又由AD∥BC，得∠ADN＝∠FCN， ∴ △ADN≌△FCN． ∴ AN＝NF．
∵ AM＝BM且ME∥AF， ∴ BE＝EF．
∴ NE为△ABF的中位线，
1∴ NE＝AB＝AM．
220．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．
求证：AE、AF把∠BAC三等分．
【提示】证出∠CAE＝30°即可．
【答案】连结BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点．
∵ 四边形AEFC为菱形， ∴ EF∥AC． ∴ GE＝OB．
∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ OB⊥AC，
5
∴ OBGE，
∵ AE＝AC，OB＝∴ EG＝
11BD＝AC， 221AE， 2∴ ∠EAG＝30°． ∴ ∠BAE＝15°．
在菱形AEFC中，AF平分∠EAC， ∴ ∠EAF＝∠FAC＝
1∠EAC＝15° 2∴ ∠EAB＝∠FAE＝∠FAC． 即AE、AF将∠BAC三等分．
（五）解答题（每小题6分，共18分）
21．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角?，
连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、 N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．
【提示】BD为正方形ABCD的对称轴，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，
用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC＋∠FNC． 【答案】∵ BD为正方形ABCD的对称轴，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴ ∠EMC＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1． 同理 ∠FNC＝180°－2∠2．
∴ ∠EMC＋∠FNC＝360°－2（∠1＋∠2）． ∵ ∠MCN＝180°－（∠1＋∠2），
∴ ∠EMC＋∠FNC总与2∠MCN相等．
因此∠EMC＋∠FNC始终为定角，这定角为∠MCN的2倍． 22．如图（1），AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC和S△DBC分别
表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，有
S△DMC＝
S?DAC?S?DBC2 ①
（1）如图（2），若图（1）中AB∥CD时，①式是否成立？请说明理由． （2）如图（3），若图（1）中AB与CD相交于点O时，S△DMC与S△DAC和S△DBC有何种相等关系？证明你的结论．
图（1） 图（2） 图（3）
【提示】△DAC，△DMC 和△DBC 同底CD，通过它们在CD 边上的高的关系，来确定它们面积的关系． 【答案】（1）当AB∥CD时，①式仍成立．
分别过A、M、B作CD的垂线，AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F． ∵ M为AB的中点，
6
1（AE＋BF）． 2111∴ SDAC＋SDBC＝DC·AE＋DC·BF＝DC·（AE＋BF）＝2 S
222S?DBC?S?DAC∴ SDMC＝
2∴ MN＝
△
△
△
△DMC
．
（2）对于图（3）有S△DMC＝
S?DBC?S?DAC2．
证法一：∵ M是AB的中点，S△ADM＝S△BDM，S△ACM＝S△BCM，
S△DBC＝S△BDM＋S△BCM＋S△DMC， ① S△DAC＝S△ADM＋S△ACM－S△DMC ②
①－②得：S△DBC－S△DAC＝2 S△DMC
∴ S△DMC＝
S?DBC?S?DAC2．
证法二：如右图，过A作CD的平行线l，MN⊥l，垂足为N，足为E．设A、M、B到CD的距离分别h1、h0、h2．则MN＝h1＝h2＋h1．
∵ AM＝BM， ∴ BE＝2 MN．
∴ h2＋h1＝2（h1＋h0），
∴ h0＝∴ S△
BE⊥l，垂
＋h0，BE
h2?h1． 2S?DBC?S?DAC＝DMC
2．
一个动点，过点O作直
23．已知：如图，△ABC中，点O是AC上边上线MN∥BC，
MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证EO＝FO．
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．
【提示】（1）证明OE＝OC＝OF；
（2）O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形，然后证明它此时也是矩形． 【答案】（1）∵ CE平分∠BCA，
∴ ∠BCE＝∠ECO． 又 MN∥BC，
∴ ∠BCE＝∠CEO． ∴ ∠ECO＝∠CEO． ∴ OE＝OC． 同理 OC＝OF． ∴ OE＝OF．
7
（2）当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形，证明如下： ∵ OE＝OF，又O是AC的中点， 即 OA＝OC，
∴ 四边形AECF是平行四边形．
∵ CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，且∠BCA＋∠ACD＝180°， ∴ ∠ECF＝∠ECO＋∠OCF＝∴ □AECF是矩形．
1（∠BCA＋∠ACD）＝90°． 28
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