2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值

第二节 函数的单调性与最值

1．函数的单调性

理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值

理解函数的最大值、最小值及其几何意义．

知识点一 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1f(x2)，那么就说函数就说函数f(x)在区间A上是增加的 f(x)在区间A上是减少的 图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的 自左向右看图象是逐渐下降的 2.单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间． 易误提醒 求函数单调区间的两个注意点：

(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

必记结论

1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x1，x2∈[a，b]，那么 f?x1?－f?x2?x1－x2

①>0?f(x)在[a，b]上是增函数；

f?x1?－f?x2?x1－x2

<0?f(x)在[a，b]上是减函数．

②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f(x)在[a，b]上是减函数．

2．复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．

[自测练习]

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) 1A．f(x)＝

xC．f(x)＝ex

B．f(x)＝(x－1)2 D．f(x)＝ln(x＋1)

2．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．

－x2－ax－5，x≤1，??

3．已知函数f(x)＝?a在R上为增函数，则a的取值范围是( )

，x>1??xA．[－3,0)

B．[－3，－2]

C．(－∞，－2] 知识点二 函数的最值 前提 D．(－∞，0)

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 对于任意x∈I，都有f(x)≤M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最小值 条件 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 易误提醒 在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性．

必备方法 求函数最值的五个常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

[自测练习]

14．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )

1＋x2A．(0,1) C．[0,1)

B．(0,1] D．[0,1]

5．已知函数f(x)＝x2＋2x(－2≤x≤1且x∈Z)，则f(x)的值域是( ) A．[0,3] C．{0,1,3}

B．[－1,3] D．{－1,0,3}

考点一 函数单调性的判断|

1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝3－x 1

C．f(x)＝－

x＋1

B．f(x)＝x2－3x D．f(x)＝－|x|

给出解析式函数单调性的两种判定方法

1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)． 2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．

考点二 函数的单调区间的求法|

求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1；