2．1.1 综合法和分析法
预习课本P85～89，思考并完成下列问题 (1)综合法的定义是什么？有什么特点？
(2)综合法的推证过程是什么？
(3)分析法的定义是什么？有什么特点？
(4)分析法与综合法有什么区别和联系？
[新知初探]
1．综合法
定义 推证过程 特点 顺推证法或由因导果法 利用已知条件和某些数学定义、公理、P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 2.分析法 定义 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)Q?P1→P1?P2 →P2?P3→…→ 得到一个明显成立的条件 框图表示 特点 逆推 证法 或执 果索 因法 →…→Qn?Q(P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).
为止．这种证明方法叫做分析法 3．综合法、分析法的区别
推理方向 解题思路 表述形式 思考的侧重点
[点睛] 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向已知．( ) (3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
2．若a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是( ) A．a2＞ab 11
C.a＞b 答案：C
3．欲证2－3＜6－7成立，只需证( ) A．(2－3)2＜(6－7)2 B．(2－6)2＜(3－7)2 C．(2＋7)2＜(3＋6)2 D．(2－3－6)2＜(－7)2 答案：C
4．如果aa＞bb，则实数a，b应满足的条件是________． 答案：a＞b＞0
B．ab＞b2 D．a2＞b2
综合法 顺推，由因导果 探路较难，易生枝节 形式简洁，条理清晰 侧重于已知条件提供的信息 分析法 倒溯，执果索因 容易探路，利于思考 叙述繁琐，易出错 侧重于结论提供的信息
综合法的应用 CA3
[典例] 在△ABC中，三边a，b，c成等比数列．求证：acos2 ＋ccos2 ≥b.
222[证明] ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. a?1＋cos C?c?1＋cos A?
∵左边＝＋
2211＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A) 22
222
b2＋c2－a2?11?a＋b－c
＝(a＋c)＋a· ＋c·22?2ab2bc?bb311
＝(a＋c)＋b≥ac＋＝b＋＝b＝右边， 22222CA3∴acos2＋ccos2 ≥b.
222当且仅当a＝c时等号成立．
综合法的解题步骤
[活学活用]
1．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2 ≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2 ＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 2．设数列{an}满足a1＝0，(1)求{an}的通项公式；
11－＝1.
1－an＋11－an
(2)设bn＝解：(1)∵
1－an＋1
，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：Sn＜1. n
11
－＝1，
1－an＋11－an
?1?
∴?1－a?是公差为1的等差数列． ?
n?
又∵
111＝1，∴＝n，an＝1－n. 1－a11－an
(2)证明：由(1)得 bn＝
1－an＋1n＋1－n11
＝＝－， nnn＋1·nn＋1
111111
＋－＋…＋－＝1－＜1.
n223n＋1n＋1
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－∴Sn＜1.
[典例] 设a，b为实数，求证： [证明] 当a＋b≤0时，∵ ∴a2＋b2≥
2
(a＋b)成立． 2
a2＋b2≥分析法的应用 2(a＋b)． 2a2＋b2≥0，
当a＋b＞0时，
用分析法证明如下：要证 只需证(a2＋b2)2≥
a2＋b2≥
2
(a＋b)， 2
?2?a＋b??2. ?2?
1
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
2∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立， ∴
a2＋b2≥
分析法证明不等式的依据、方法与技巧
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
2
(a＋b)成立．综上所述，不等式得证． 2
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