高考数学 热点专题专练 2-6点、直线、平面之间的位置关系 理

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P—ABCD的体积．

解 解法一：(1)如图1，连接AC.

由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°得AC＝5. 又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.

因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.

而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. (2)如图1，过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF. 由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.

于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE. 由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角． 由题意得∠PBA＝∠BPF，

因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF. 由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD， 所以四边形BCDG是平行四边形． 故GD＝BC＝3.于是AG＝2.

在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，

PAPBBFPBAB21685

所以BG＝AB＋AG＝25，BF＝＝＝. BG255

2285

于是PA＝BF＝.

5

1

又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，

2所以四棱锥P—ABCD的体积为

V＝×S梯形ABCD×PA＝×16×

1313851285

＝. 515

解法二：如图2，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，

E(2,4,0)P(0,0，h)．

→→→

(1)易知CD＝(－4,2,0)，AE＝(2,4,0)，AP＝(0,0，h)． →→→→

因为CD·AE＝－8＋8＋0＝0，CD·AP＝0， 所以CD⊥AE，CD⊥AP，

而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线， 所以CD⊥平面PAE.

→→

(2)由题设和(1)知，CD，PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以

→→→→

|cos〈CD，PB〉|＝|cos〈PA，PB〉|， →→→→?CD???·PBPA·PB即?＝.

→→??→→??|CD|·|PB|??|PA|·|PB|?

→→→

?－16＋0＋0?

由(1)知，CD＝(－4,2,0)，PA＝(0,0，－h)，又PB＝(4,0，－h)，故?2?＝

?25·16＋h?

?0＋0＋h??2?. ?h·16＋h?

85

解得h＝.

5

11

又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P—ABCD的体积为V＝×S梯形

23

ABCD2

1851285

×PA＝×16×＝. 3515