数学与应用数学(2)

数 学

实

实 验 验 报

告

姓名： 学号：

二

班级：数学与应用数学2班

一、实验名称：?的计算

?—圆周率，我们十分熟悉的常数，我们也许能写出?=3.141592653.用Mathematica容易求出?到几百位 ，

N[Pi,100]=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

二．实验目的

1. 在Mathematica环境中用多种方法计算圆周率?的值。 2. 通过实验来体会各种方法的区别，比较各种方法的优劣。

三．实验内容

方法一 利用幂级数表达式

利用幂级数表达式

1=1x2+x4?+(1)n1x2n2+?21+x 2n1x3x5xarctanx=x++?+(1)n1+?352n1又因为arctan1?π11=1+435?4，于是取x?1得

111+?+(1)n1+? 792n1因此使用到函数幂级数展开式 使用命令 Sum[f(n),{n,1,Infinity}] 表示求f(n)为通项的级数在收敛域内的和. 使用Mathematica命令求级数?(?1)n?1n?1?1在取不同项数时的值，级数和用S2n?1表示，并且用S1?4S来近似圆周率?的取值 用Mathematica计算 1．K=1000时： 程序：

k=1000;

S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18]

运行结果：

3.14059265383979293 2．K=10000时： 程序：

k=10000;

S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18]

运行结果：

3.14149265359004324

3．K=50000时： 程序：

k=50000;

S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18]

运行结果：

3.14157265358979524

4．为了加快计算速度提高计算的精确度可以使用公式：

1113115(?1)n?112n?1??4(?()?()???()??232522n?12 n?11113115(?1)1?()?()??()2n?1??]333532n?1311?Machin公式4arctan?arctan?

52394（1）级数项数k=10时： 程序：

Clear[k,n,S] k=10;

S2=N[4*Sum[(-1)^(n-1)*(1/2)^(2n-1)/(2n-1)+(-1)^(n-1)*(1/3)^(2n-1)/(2n-1),{n,1,k}],20]

运行结果：

3.1415925796063512110

（2）级数项数k=20时： 程序：

Clear[k,n,S] k=20;

S2=N[4*Sum[(-1)^(n-1)*(1/2)^(2n-1)/(2n-1)+(-1)^(n-1)*(1/3)^(2n-1)/(2n-1),{n,1,k}],20]

运行结果：

3.1415926535897574098 （3）级数项数k=50时： 程序：

Clear[k,n,S] k=50;

S2=N[4*Sum[(-1)^(n-1)*(1/2)^(2n-1)/(2n-1)+(-1)^(n-1)*(1/3)^(2n-1)/(2n-1),{n,1,k}],20]

运行结果：

3.1415926535897932385

在Mathematica中的实验：