表9 排列组合 打包——把N个不同的物体分成n个组（这n个组是不计顺序的） 例如，把6个班级分成3个组，每个组至少得到1个班级，有多少种不同的分组方法的求法： 第一层次：因每组中元素的个数产生的差异，分成三大类： 6?1?1?4 6?1?2?3（打包计数先分解） 6?2?2?2第二层次：在每一大类中，因元素的质地产生的差异： 114C6C5C4 6?1?1?4??15（有两个1，就要除以A22）2A21236?1?2?3?C6C5C3?60（有1个1，就要除以A11） 222C6C4C23A（有三个2，就要除以） 6?2?2?2??1533A3根据加法原理：不同的打包方法为15?60?15?90. 打包寄送法 打包口诀： “打包计数先分解，对照分解写组合； 组合相乘作分子，同数全排作分母.” 寄送——把N个不同的物体寄送到N个不同的地方，每个地方恰好1个，请问：共有多少种不同的方法？答案：AN 打包寄送公式：将打包方案数乘以寄送方案数，就得到总的方案数. 把N个相同的物体一字排开，共有N?1个间隔，只需要从这N?1个间隔中选出n?1个并插进n?1个挡板，把N个相同的物体分割成为n段，第几段的物体就分给第几个受体，这正好完成了任务.有多少种不同的插入挡板的方法就是所求的结果.图形示范如下： 挡板法 挡板公式：——最终方案总数等于插挡板的方法数：CN?1. 把N个编好号的物体（编号分别是1,2,3,?,N）分给n个编好号的受体（编号分别是1,2,3,?,N），每个受体恰好得到一个物体，但是要求在分配时物体的编号与受体的编号不同.请问：共有多少种不同的分法？ 错排法 n?11111??1??错排公式：Dn?n！?????????， 2！3！4！5！6！n！???n！?进一步地，可以简化如下：Dn???0.5?（其中e?2.71828?） ?e?n?1N捆绑法 插空法 分叉树法 相邻问题用捆绑法. 第一步：将要相邻的元素捆在一起，捆绑体内部进行排序. 第二步，将捆绑体和剩下的元素排序；最后，根据乘法原理求总方案数. 不相邻问题用插空法. 第一步：将要无要求的元素排序. 第二步，将不相邻的元素插进上述元素之间及两端的空位. 最后，根据乘法原理求总方案数. 对染色问题、数字问题等可以先画分叉树，再综合用乘法原理、加法原理.
表10 概率 （1）交换律——加法交换律：A?B?B?A， 乘法交换律：AB?BA； （2）结合律——加法结合律：?A?B??C?A??B?C?， 集合与事件的运算规则 乘法结合律：?AB?C?A?BC?； （3）分配律——简单分配律：B?A?C??AB?BC， 复杂分配律：?A?B??A?C??A?BC； （4）摩根律——加法求否律：A?B?AB， 乘法求否律：AB?A?B； （1）韦恩图—— 集合与事件的韦恩图与容斥原理 （2）容斥原理—— 表现形式一（集合元素个数的视角）： 二元容斥：A?B?A?B?AB 三元容斥：A?B?C?A?B?C?AB?AC?BC?ABC 表现形式二（事件概率公式的视角）： 二元容斥：P?A?B??P?A??P?B??P?AB? （1）概率的加法公式：P?A?B??P?A??P?B??P?AB? （2）概率的减法公式： P?A?B??P?A??P?AB? 概率的加法、（3）概率的乘法公式： P?AB??P?B?PAB 减法、乘法公特别地，当A与B独立时，P?AB??P?A?P?B?。 式 当n个事件A1,A2,?,An相互独立时， ??P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An) 独立性判断 对立性判断 古典概型 P?AB??P?A?P?B??A与B独立 ?P?AB??0?AB?????A与B对立 ??P?A??P?B??1?A?B??mP?A?? nn?kkkn次独立重复试验恰好发生k次的概率Pn?k??Cnp?1?p? 应用伯努利概型的步骤： 伯努利概型两个要点—— （1）在1次试验中某事件发生的概率是p； （2）n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次； n次独立重复试验至少发生k次的概率?Pn?k??Pn?k?1????Pn?n?； 伯努利概型 n次独立重复试验至多发生k次的概率?Pn?1??Pn?2????Pn?k?；
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