第15讲 高频考点分析之最值探讨-备战2014高考数学专题讲座

例4. （2013年江苏省16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min。在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C。假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA?（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

123，cosC?。 135

【答案】解：（1）在△ABC中，cosA?12354，cosC?，∴sinA?， sinC?。 135135 ∴sinB?sin?????A?C????sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC

【解析】（1）应用同角三角函数关系式求出求出sinA?定理即可求得索道AB的长。

54， sinC?，从而求得sinB，应用正弦135 （2）应用余弦定理表示出乙在缆车上与甲的距离关于乙出发时间的函数关系式，应用二次

函数的最值求解。

（3）根据两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟列不等式组求解。

x2y2例5. （2013年全国新课标Ⅱ理12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2?2?1(a?b?0)

ab1的右焦点的直线x?y?3?0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

2（1）求M的方程

（2）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积最大值.

?43?x?y?3?0x????x?0?2?32（2）由?x解得或， ??y?1?y?3?y??3???3?6?3?∴|AB|＝46。 3∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y?x?t。

【考点】直线与圆锥曲线的关系，直线的一般式方程与直线的垂直关系，圆锥曲线的定义、性质与方程。

【分析】（1）把右焦点（c，0）代入直线可解得c。设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c。

（2）把直线x?y?3?0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|；由

CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立即可得到弦长|CD|．利用

S四边形ACBD?1AB?CD即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值。 2例6. （2013年陕西省文5分）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 ▲ (m).