第15讲 高频考点分析之最值探讨-备战2014高考数学专题讲座

三、应用导数求最值： 如果f(x)在闭区间[a ，b]上连续，在（a，b）内可导，则f(x)

在[a ，b]上求最大值与最小值的步骤：先求f(x)在（a,b）内的极值；再将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 求可导函数极值的步骤：首先：求导数f′(x)；再求导数f′(x)=0的根；最后：检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值。

应用导数求最值也是求最值的基本方法。

【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】

典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2013年福建省文14分）已知函数f?x??x?1?a (a∈R，e为自然对数的底数)． ex（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； （2）求函数f(x)的极值；

（3）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值。

例2. （2013年广东省理14分）设函数f?x???x?1?ex?kx2（k∈R）。 （1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

?1?（2）当k??， 1?时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M。

?2?【答案】解：（1）当k=1时，f?x???x?1?ex?x2，f'?x??ex??x?1?ex?2x， 令f'?x??ex??x?1?ex?2x=0，得xex?2=0， 解得x=0或x=ln2。 列表如下： （－∞，0） 0 （0，ln2） ??ln2 （ln2，＋∞）

f'?x? f?x? ＋ ↗ 0 极大值 － ↘ 0 极小值 ＋ ↗ ∴函数f（x）在（－∞，0）和（ln2，＋∞）上单调增加，在（0，ln2）上单调减小。

?1?令??k?=ek?3k，则?'?k?=ek?3

2???1?∴??k?在?， 1?上递减。

?2?3??1??又∵??????1?=?e???e?1?<0，

2??2???1??1? 1?使得??x0?=0，且当k??， x0?时, ??k?>0，当∴存在x0??，?2??2?k??x0，1?

例3. （2013年广东省文14分）设函数f?x??x3?kx2?x（k∈R）。 （1） 当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当k<0时，求函数f（x）在[k，－k]上的最小值m和最大值M。

∴函数f（x）在[k，－k]上单调增加。

∴函数f（x）在[k，－k]上的最小值m=f?k?=k，最大值M=f??k?=?2k3?k。 ②当k0，

????