故?|AB|???????????2??
得|AB|＝2（步骤2）
15.如图,二面角??l??的大小是60o,线段AB??.B?l,
AB与l所成的角为
30?.则AB与平面?所成的角的正弦值是.
【测量目标】直线与平面所成角、二面角的概念. 【考查方式】做辅助线将线面角转化为三角形的内角求解. 【参考答案】34
【试题解析】过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作
l的垂线.垂足为D,连结AD,有三垂线定理可知AD⊥l,
故∠ADC为二面角??l??的平面角为60o（步骤1） 又由已知,∠ABD＝30o
连结CB,则∠ABC为AB与平面?所成的角 设AD＝2,则AC＝3,CD＝1
AB＝
AD＝4（步骤osin302）
3）
x,y?S∴sin∠ABC＝
AC3?.（步骤AB4（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意,都有
x?y,x?y,xy?S,则称S为封闭集.下列命题：①集合S??a?bi?（a,b为整数,i为虚数单位）为封闭集； ②若S为封闭集,则一定有0?S； ③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集,则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集. 其中真命题是（写出所有真命题的序号）
【测量目标】集合的含义、集合之间包含的关系、复数代数形式的四则运算.
【考查方式】给出满足封闭集的条件，运用特殊值法直接判断集合是否满足条件. 【参考答案】①②
【试题解析】直接验证可知①正确.
当S为封闭集时,因为x－y∈S,取x＝y,得0∈S,②正确 对于集合S＝{0},显然满足素有条件,但S是有限集,③错误 取S＝{0},T＝{0,1},满足S?T?C,但由于0－1＝－1?T,故T不是封闭集,④错误
三、 解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为1.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. 6（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
【测量目标】相互独立事件同时发生的概率、互斥事件概率加法公式.
【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.
【试题解析】（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么
1P?A??P?B??P?C??.（步骤
61）
3?5?125PAgBgC?PAPBPC????.（步骤
?6?216????????2）
3）
答：第三位同学都没有中奖的概率是
125.（步骤216（Ⅱ）1?P?AgBgC?AgBgC?AgBgC?AgBgC?
1?5?1?25=1?3?????????.
?6?6?6?2723或P?AgBgC?AgBgC?AgBgC?AgBgC??25.（步骤273）
25.（步骤27答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为18.（本小题满分12分）
4）
在正方体ABCD－A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点
O是对角线BD′的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小 【测量目标】线线平行、垂直，线面垂直，二面角的概念.
【考查方式】（1）通过做辅助线转化线段位置、通过线面垂直证明线线垂直.（2）做辅助线将二面角转化为三角形内角求解.
【试题解析】（1）连接AC,取AC的中点K,则K为BD的中点,连接
OK.
因为点M是棱AA?的中点,点O是BD?的中点, 所以AM//DD?//OK且AM?DD??OK, 所以MO//AK且MO?AK.（步骤1） 由AA??AK,得MO?AA?.（步骤2） 因为AK?BD,AK?BB?,所以AK?平面BDD?B?, 所以AK?BD?.
所以MO?BD?.（步骤3）
又因为OM与异面直线AA?和BD?都相交, 故OM为异面直线AA?和BD?的公垂线.（步骤4）
（2）取BB?的中点N,连接MN,则MN?平面BCC?B?.过点N作NH?BC?于H,连接MH,则由三垂线定理得,BC??MH.从而,?MHN为二面角
M?BC??B?的平面角.（步骤
12125）
122g?.（步骤224设AB=1,则 MN=1,NH?BNsin45o?在Rt△MNH中,tanMHN?6）
MN1??22. NH242.（步骤
故二面角M?BC??B?的大小为arctan27）
19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明两角和的余弦公式
C???:cos(???)?cos?cos??sin?sin?；
由C???推导两角和的正弦公式S???:sin(???)?sin?cos??cos?sin?.
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