2003年-2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= .
（2） 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . （3） y?2的麦克劳林公式中x项的系数是__________. （4） 设曲线的极坐标方程为??e围成的图形的面积为__________.
a?xn2144(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所
?1?11???TT（5） 设?为3维列向量，?是?的转置. 若?????11?1?，则
??1?11???T?= .
?101??220?（6） 设三阶方阵A,B满足AB?A?B?E，其中E为三阶单位矩阵，若A??0则B??，???201??________.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有
n??n??n??(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.
(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ]
n??n??3n?11?xndx, 则极限limnan等于 （2）设an??n?1xn??20 (A) (1?e)?1. (B) (1?e)?1.
(C) (1?e)?1. (D) (1?e)?1. [ ]
（3）已知y?3?1232323?12nxxyx是微分方程y????()的解，则?()的表达式为 lnxyxyy2y2 （A） ?2. (B) 2.
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2003年-2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
x2x2 (C) ?2. (D) 2. [ ]
yy（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.
(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y
O x
?（5）设I1??40tanxxdx,I2??4dx, 则
0xtanx? (A) I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.
(C) I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. [ ] （6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关.
(C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关. [ ]
??ln(1?ax3),x?0,?x?arcsinx?三 、（本题满分10分）设函数 f(x)??f(x)在x=0处连续；6,x?0, 问a为何值时，
ax2?e?x?ax?1x?0,,?x?xsin4?a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？
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?x?1?2t2,?d2yu1?2lnte(t?1)所确定，求2四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程?y?dudx?1u??
五 、（本题满分9分）计算不定积分
六 、（本题满分12分）
设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.
x?9.
?xearctanx(1?x)232dx.
d2xdx(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程2?(y?sinx)()3?0变换为y=y(x)满足的微分方程；
dydy(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?
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3的解. 22003年-2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
4七 、（本题满分12分）讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?lnx的交点个数.
八 、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(21,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线22段PQ被x轴平分.
(1) 求曲线 y=f(x)的方程；
(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.
九 、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面
32圆的半径为2 m.根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.
(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式；
(2) 求曲线x??(y)的方程.
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)
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