高考数学大二轮总复习 增分策略 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 第2讲 不等式与线性规划试题

第2讲 不等式与线性规划

??xx＋2

1．(2014·大纲全国)不等式组?

?|x|<1?

>0，

的解集为( )

A．{x|－2

B．{x|－11}

4x＋5y≥8，??

2．(2015·广东)若变量x，y满足约束条件?1≤x≤3，

??0≤y≤2，2331

A．4 B. C．6 D.

55

则z＝3x＋2y的最小值为( )

3．(2015·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A．ax＋by＋cz C．ay＋bz＋cx

B．az＋by＋cx D．ay＋bx＋cz

2

2

4．(2015·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．

1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点； 2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围； 3.利用不等式解决实际问题.

热点一 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)(2)2

2

fx>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；

gxfx≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

gx3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．

?1?x例1 (1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为?x|x<－1或x>?，则f(10)>0的解集为( )

2??

A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x<－lg 2}

(2)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )

A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－24} D．{x|0

思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，

若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．

跟踪演练1 (1)关于x的不等式x－2ax－8a<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则

2

2

a＝________.

(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋ln x)|<1的解集是________________． 热点二 基本不等式的应用

利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定12

值)，当x＝y时，xy有最大值s(简记为：和定，积有最大值)．

4

32

例2 (1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最

xy小值是( ) 5A. 3C．8

(2)已知关于x的不等式2x＋A．1 C．2

8B. 3D．24

2

≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( ) x－a3B. 25D. 2

思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

跟踪演练2 (1)(2015·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．

1122

(2)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x＋y＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的ab最小值是________． 热点三 简单的线性规划问题

解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证

解决．

x－y≤0，??

例3 (1)(2015·北京)若x，y满足?x＋y≤1，

??x≥0，

3

A．0 B．1 C. D．2

2

则z＝x＋2y的最大值为( )

x＋y－2≤0，??

(2)(2014·安徽)x，y满足约束条件?x－2y－2≤0，

??2x－y＋2≥0.

不唯一，则实数a的值为( ) 1

A.或－1 2C．2或1

1

B．2或 2D．2或－1

若z＝y－ax取得最大值的最优解

思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．

y≥x，??

跟踪演练3 已知x，y满足?y≤－x＋2，

??x≥a，a的值是( )

A．1 C．3

且目标函数z＝2x＋y的最小值为9，则实数

B．2 D．7

1．若点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，则ab的最大值为( )