《概率论》计算与证明题 58
P(AB)?P(A)P(B)
P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B)
?P(A)(1?P(B))?P(A)P(B)，
同理可得 P(AB)?P(A)P(B)。证毕。
17、解：P{三次射击恰击中目标一次}?0.4(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)0.5(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)0.7
?0.36
P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次}?1?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.91
18、解：（1）P{所有的事件全不发生}?P{A1?An}?P(A1)?P(An)?（2）P{至少发生其一}?P(A1???An)
?(1?pk?1nk)。
P(A1?An)?1?P(A1?An)?1??(1?pn)。
k?1n（3）P{恰好发生其一}?p1(1?p2)?(1?pn)?(1?p1)p2(1?p3)?(1?pn)?
???(1?p1)?(1?pn?1)pn
??pi?2i?1nn?j?i?1?pipj???(?1)n?1n?pi。
i?1n
19、解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记A0={元件k发生故障}，A1={元件k1发生故障}，
A2={元件k2发生故障}。则
P{电路断开}?P(A0?A1A2)?P(A0)?P(A1A2)?P(A0A1A2)
?0.3?0.2?0.2?0.3?0.2?0.2?0.328。
20、解：以Ak表事件“A于第k次试验中出现”，P(Ak)??，由试验的独立性得，前n次试验中A都
不出现的概率为
《概率论》计算与证明题 59
P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An)?(1??)n。
于是前n次试验中，A至少发生一次的概率为
1?P(A1A2?An)?1?(1??)n?1(n??)。
这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而可看成是必然要发生的。
21、解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得
P{所有零件均为一级品}?0.83?0.72?0.2509。
22、解：利用二项分布得 P{至少出现一次正面}?1?P{n次全部出现反面}?1?(1?p)n。
1P{至少出现两次正面}?1?(1?p)n?Cnp(1?p)n?1?1?(1?p)n?np(1?p)n?1。
23、解：（1）设A，B，C分别表示每局比赛中甲，乙丙获胜的事件，这是一个P(A)?P(B)?P(C)?13的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为
3!?1??1??1?3!?1??1??1?p??????????????。
3!0!0!?3??3??3?2!1!0!?3??3??3?
24、解：利用两个的二项分布，得欲副省长的概率为
30020p??P{甲掷出i次正面，乙掷出i次正面}
i?0n?1???C???2?i?0inni?1????2?n?1?1??C???2?ini?1????2?n?1?1?????2?2nn?1?(C)?C??。 ??2?i?0i2nn2n2n
25、解：事件A出现奇数次的概率记为b，出现偶数次的概率记为a，则
00n22n?2a?Cnpq?Cnpq??，
133n?3b?Cnpqn?1?Cnpq??。
利用a?b?(p?q)?1,a?b?(q?p)，可解得事件A出现奇数次的概率为
nn 《概率论》计算与证明题 60
b?1111?(p?q)n??(1?2p)n。 222??顺便得到，事件A出现偶数次的概率为a?
11?(1?2p)n。 2226、解：事件“在出现m次A之前出现k次A”，相当于事件“在前k?m?1次试验中出现k次A，m?1次A，而第m?k次出现A”，故所求的概率为
Ckk?m?1pkqm?1?q?Ckk?m?1pkqm
k?2注：对事件“在出现m次A之前出现k次A”，若允许在出现m次A之前也可以出现k?1次A，
次A等，这就说不通。所以，事件“在出现m次A之前出现k次A”的等价事件，是“在出现m次A之前恰出现k次A”。而对事件“在出现m次A之前出现k次A之前”（记为B）就不一样，即使在出现m次A之前出现了k?1次A，k?2次A等，也可以说事件B发生，所以事件B是如下诸事件的并事件：“在出现m次A之前恰出现i次A”，i?k,k?1,?。
27、解：设An?{经n次试验后，黑球出现在甲袋中}，黑球出现在乙袋中}，Cn?{第An?{经n次试验后，
n次从黑球所在的袋中取出一个白球}。记pn?P(An), cn?P(An)?1?pn,n?0,1,2,?。当
n?1时，由全概率公式可得递推关系式：
pn?P(An|An?1)P(An?1)_P(An|An?1)P(An?1) ?P(Cn|An?1)P(An?1)?P(Cn|An?1)P(An?1)
?pn?1?N?11?qn?1?NNN?21pn?1?NN?N?11pn?1?(1?pn?1), NN(n?1)。
即 pn?初始条件p0?1，由递推关系式并利用等比级数求和公式得
《概率论》计算与证明题 61
11N?21?N?2?pn????????NNNN?N?1N??N?2?n????1????N????n?1?N?2???? ?N?n11?N?2??????。 n22N???N?2??N?2??1?????N??N??若N?1，则n?2k?1时p?0，当n?2k时pn?1。
n若N?2，则对任何n有pn?1。 2若N?2，则limpn?n??1（N越大，收敛速度越慢）。 2
28、解：P={有10个或更多个终端同时操作}=P{有10个或不足10个终端不在操作}
j??C20(0.3)j(0.7)20?j?0.9829。 j?010
29、解：利用普阿松逼近定理计算??5000?0.001?5，则打中两弹或两终以上的概率为
p?1?(0.999)5000?5000(0.999)4999?0.001?1?e?5?5e?5?0.9596
30、解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用p?二项分布得欲求的概率为
1的365?1?p?1??C???365?i502i1???1???365?50?1
1?(3642?50?364?25?49)36448??0.00037。 5036531、解：每个错字出现在每页上的概率为p?1，500个错字可看成做500次努里试验，利用普阿松500逼近定理计算，??500?1?1，得 500
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