课 题：9．5空间向量及其运算(三)
教学目的：
⒈了解空间向量基本定理及其推论；
⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出 ⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物．
教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）
教学难点：空间作图． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
?????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)
运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a
??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)
D'A'B'C'????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b
DCB????a3．平行六面体：
A平行四边形ABCD平移向量a到A?B?C?D?的轨迹所形
成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－A?B?C?D?它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 ?4. 平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
????向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.
要注意其中对向量a的非零要求．
?5 共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫
????做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．
??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的
直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
??????6． 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是??存在实数λ，使a＝λb.
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式
??OP?OA?ta．其中向量a叫做直线l的方向向量.
?空间直线的向量参数表示式：
?OP?OA?ta或OP?OA?t(OB?OA)?(1?t)OA?tOB，
中点公式．OP?12(OA?OB)
??????已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行
?于?或在?内，那么我们说向量a平行于平面?，记作：?a//?．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
7．向量与平面平行：
aa 说明：空间任意的两向量都是共面的 ????线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实
???数x,y使p?xa?yb 8．共面向量定理：如果两个向量a,b不共
??MbaBAA'pP推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使
????????????MP?xMA?yMB ①
或对空间任一点O，有
?????????????????OP?OM?xMA?yMB ②
?????????????????或OP?xOA?yOB?zOM,(x?y?z?1) ③
O上面①式叫做平面MAB的向量表达式 二、讲解新课：
????1 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，
????存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p?xa?yb?zc 证明：（存在性）设a,b,c不共面，
????????????????????过点O作OA?a,OB?b,OC?c,OP?p；
C'C???PBP'B'过点P作直线PP?平行于OC，交平面OAB于点P?； 在平面OAB内，过点P?作直线P?A?//OB,P?B?//OA，分别与直线OA,OB相交于点A?,B?，于是，存在三个实
OAA'?????????????????????????????数x,y,z，使OA??xOA?xa，OB??yOB?yb，OC??zOC?zc，
?????????????????????????????????∴OP?OA?OB?OC?xOA?yOB?zOC ????所以p?xa?yb?zc
????（唯一性）假设还存在x?,y?,z?使p?x?a?y?b?z?c
??????∴xa?yb?zc?x?a?y?b?z?c
∴(x?x?)a?(y?y?)b?(z?z?)c?0
y?y??z?z????b??c 不妨设x?x?即x?x??0 ∴a?x??xx??x???∴a,b,c共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一
????综上两方面，原命题成立 ???由此定理，若三向量a,b,c不共面，则所有空间向量所组成的集合是????????{p|p?xa?yb?zc,x?R,y?R,z?R}，这个集合可以看作由向量a,b,c生成的，所以
??????我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，可以知道，空间任
意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个
????????????????有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC 三、讲解范例：
例1 已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC????????????的中点，点G在线段MN上，且MG?2GN，用基底向量OA,OB,OC表示
????向量OG ???????????????????2??????2?????????1???解：OG?OM?MG?OM?MN?OA?(ON?OM)
323?21?????????1???1???O?OA?[(OB?OC)?OA]2322?1??????????1????1????1???1???1???M?OA?(OB?OC)?OA?OA?OB?OC
233633CGN633例2如图，在平行六面体ABCD?A?B?C?D?中，E,F,G分别是
∴OG?1OA?1OB?1OC ABA?D?,D?D,D?C?的中点，请选择恰当的基底向量证明：
（1）EG//AC
（2）平面EFG//平面AB?C D'EGC'B'????????????证明：取基底：AA',AB,AD,
A'F??????????????1????1????（1）∵EG?ED'?D'G?AD?AB，
22????????????????AC?AB?AD?2EG ， ∴EG//AC
DCBA???????????????????????????????1????1????（2）∵FG?FD'?D'G?AA'?AB，AB'?AB?AA'?2FG
22∴FG//AB'， 由（1） EG//AC，∴平面EFG//平面AB?C 四、课堂练习：课本P32练习1－5
五、小结 ：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明
的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备． 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：
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