数字信号处理习题及答案

5．已知FIR滤波器的单位冲击响应为

?0.?3n?( h(n)??(n)N?1n?0?1)?0.n7?2(?2?)n0.?11?(?3n) ?0 试画出其级联型结构实现。

H(z)?根据

?h(n)z?n得：

220.?z7??0.z31?1?4?31? H(z)?1?0.zz0.12

)?1z?23 ?(1?0.z2?0.?)(1z?10.?1z?2 0.4而FIR级联型结构的模型公式为：

H(z)??(?0k??1kz?1??2kz?2)k?1?N???2??

对照上式可得此题的参数为：

?01?1 , ?02?1,

?11?0.2 , ?12?0.1

?21?0.3 , ?22?0.4

6．用频率抽样结构实现以下系统函数：

5?2z?3?3z?6H(z)?1?z?1

抽样点数N = 6，修正半径r?0.9。 解； 因为N=6，所以根据公式可得：

H(z)?21?6?6?(1?rz)?H0(z)?H3(z)??Hk(z)?6k?1??(5?3z?3)(1?z?3)H(z)?1?z?1 ?(5?3z?3)(1?z?1?z?2)故 H(k)?H(Z)Z?2?k/N ?(5?3e?j?k)(1?e因而 H(0)?24,H(1)?2?23j,H(2)?0 H(3)?2,H(4)?0,H(5)?2?23j

H(0)24则 H0(z)??1?rz?11?0.9z?1H(3)2 H3(z)???11?rz1?0.9z?1

求 ： Hk(z)k?1 时 ：H1(z)?2?21?2zrcos???rz?N?

?j?3k?e?j2?k3)?01??11z?1?2???1?01?2Re?H(1)??2Re[2?23j]?4?11?(?2)?(0.9)?ReH(1)W61?3.64?3.6z?1H1(z)?1?0.9z?1?0.81z?2k?2 时 ：?02??12?0 ， H2(z)?0 7．设某FIR数字滤波器的系统函数为：

1H(z)?(1?3z?1?5z?2?3z?3?z?4)5

试画出此滤波器的线性相位结构。 解：由题中所给条件可知：

??1331h(n)??(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)??(n?4)5555

则 h(0)?h(4)?1?0.253 h(1)?h(3)??0.65 h(2)?1N?1?2 2即h(n)偶对称，对称中心在 n?处 ， N 为奇数(N?5) 。

8．设滤波器差分方程为：

y(n)?x(n)?x(n?1)?11y(n?1)?y(n?2)34

⑴试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方

程。

⑵求系统的频率响应（幅度及相位）。

⑶设抽样频率为10kHz，输入正弦波幅度为5，频率为1kHz，试求稳态输出。 解：

(1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：

根据 y(n)??ak?1Nky(n?k)??bx(n?k) 可得：kk?0M

11a1? , a2?34 ； b0?1 , b1?1

一阶节级联型：

1?z?1H(z)?111?z?1?z?2341?z?1 ?1?10?11?10?1(1?z)(1?z)66

1?z?1??1?1 (1?0.7z)(1?0.36z) 一阶节并联型： H(z)?

1?z?1(1?1?10?11?10?1z)(1?z)66

1717?10?10220220??1?10?11?10?11?z1?z66

?1.60.6?1?0.7z?11?0.36z?1

1?z?1（2）由题意可知 H(z)?111?z?1?z?234

1?e?j??H(e)??1?j?1?2j?1?e?e34

j?(1?co?s)?jsin?111?1?1?co?s?co2s??j?sin??sin2??344?3?

幅度为：

?H(ej?)?

(1?cos?)2?sin2?1111(1?cos??cos2?)2?(sin??sin2?)23434 相位为：

sin????argH(ej?)??ar?gtg()?1?co?s??

??11??sin??sin2???4?ar?gtg(3)?11?1?co?s?co2s????34??

（3） 输入正弦波为 ： x(t)?5sin(2?t?103)

3由 ?T?2??10T1?2? 可得：

又抽样频率为10kHz，即抽样周期为

1?3T??0.1?10?0.1ms310?10

∴在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与(0,2?)间的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为

周期为：T1?1?10?3s?1ms1000

? ?5sin?10x(n)?5sin2??103?nT3?2??10?4?n?????1? ?5sin?n?? (n?0 ,1 ,?5?

由此看出,9)

?0?0.2?

根据公式可得此稳态输出为：

y(n)?5H(ej?0)cos?0n?argH(ej?0) ?12.13cos0.2?n?51.6?????

4.试用N为组合数时的FFT算法求N?12的结果(采并画出流图。??1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需50? s 计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。

每次复加5? s，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问直拉?对于0?n?N,有解：依题意：N?3?4?r1r2,

解: ⑴ 直接计算: 复乘所需时间:

T?61?5?10?N2 ?5??10?65122 ?1.31072s

复加所需时间:

T2?0.5?10?6?N?(N?1) ?0.5?10?6?512?(512?1) ?0.130816s ?T?T1?T2?1.441536s⑵用FFT计算:

复乘所需时间:

T?61?5?10?N2log2N ?5?10?6?5122?log2512 ?0.01152s 复加所需时间: T2?0.5?10?6?N?log2N ?0.5?10?6?512?log2512 ?0.002304s ?T?T1?T2?0.013824s

n?n?1r2?n0,?n1?0,1,2?n0?0,1,2,3 同样： 令N?r2r1 对于频率变量k(0?k?N)有k?k?k1?0,1,2,31r1?k0,??k0?0,1,2?x(n)?x(n1r2?n0)?x(4n1?n0) ?x(n1,n0)X(k)?X(k1r1?k0)?X(3k1?k0) ?X(k1,k0)11?X(k)??x(n)Wnk12n?0?3?2 ?x(n(4n1?n0)(3k1?k01,n)0)W12n0?0n1?0