21．BE∥CD，如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点，将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），使得PA⊥平面ABCD，连接PC、PB，构成一个四棱锥P﹣ABCD． （Ⅰ）求证AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）推导出ABCD为平行四边形，AD∥BC，AD⊥BE，AD⊥AB，AD⊥PA，从而AD⊥平面PAB，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，∵AB∥CD，AB=CD， ∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∵∠B=90°，∴AD⊥BE，
当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA， 又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB， 又∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）， =（1，1，﹣1），
=（0，1，0），
=（1，0，0），
设平面PBC的法向量为=（x，y，z）， 则
，取z=1，得=（1，0，1），
设平面PCD的法向量=（a，b，c）， 则
，取b=1，得=（0，1，1），
设二面角B﹣PC﹣D的大小为θ， 则cosθ=﹣
=﹣，∴θ=120°．
∴二面角B﹣PC﹣D的大小为120°．
22．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的短轴长等于长轴长的一半，椭圆C
，直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两
上的点到右焦点F的最短距离为2﹣点A（x1，y1），B（x2，y2）． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若△AOB的面积为1，求直线l的方程． 【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可知，解得a，b即可．
（Ⅱ）将直线l：y=x+m与椭圆C的方程x2+4y2﹣4=0联立可得：5x2+8mx+4m2﹣4=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得a=2，b=1，c=，
∴椭圆C的方程的方程为：．
y=x+m与椭圆C的方程x2+4y2﹣4=0联立可得：5x2+8mx+4m2﹣4=0，（Ⅱ）将线l：
由△=64m2﹣4×5×（4m2﹣4）＞0，?m2＜5； x1+x2=﹣
，x1x2=
．
|AB|=
原点O到直线l：y=x+m的距离d=△AOB的面积为s=×d×|AB|=
=
，
，
=1；
化简得4m4﹣20m2+25=0，m2=， m=±
，直线l的方程为：y=x±
2017年2月28日
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