【高考】2019高考数学第5章平面向量 章末总结 Word版含解析

与向量b的夹角为( )

πA、 6πB. 4

πC、 3

D.

2π

3

解析:选B.因为a⊥(a－b),所以a2－a·b＝0,又|a|＝1,所以a·b＝1,设向量a与向量b的夹角为θ,由cos θ＝

π

. 4

a·b12π

＝＝,可得θ＝,即向量

|a|·|b|422

a与b的夹角为

二、填空题

5、已知?ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2,1),(－1,3),(3,4),则|BD|＝________、

→＝→

解析:设D(x,y),由ABDC得(1,2)＝(3－x,4－y)、所以x＝2,y＝2,即D点→＝(2,2)－(－1,3)＝(3,－1),所以|BD|＝|→的坐标为(2,2),所以BDBD|＝32＋（－1）2＝10.

答案:10

6、(必修4 P120B组T4改编)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB＝3,AD＝DC＝2,M是DC的中点,则→AM·→BC＝________、

基础知识基础知识

1→→→→＝b,则|a|＝3,|b|＝2.AM→＝AD→＋→

解析:设→AB＝a,ADDM＝b＋a,BC＝AC－AB

31?2111?→→→→→2

b＋a?(b－a)＝|b|－|a|2＝AD＋DC－AB,＝b＋a－a＝b－a,所以AM·BC＝?

3?3339?1

＝22－×32＝3.

9

答案:3 三、解答题

7、(必修4 P108A组T8改编)已知|a|＝4,|b|＝3,(2a－3b)·(2a＋b)＝61, (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；

→→

(3)若AB＝a,BC＝b,求△ABC的面积、 解:(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61, 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4,|b|＝3,所以64－4a·b－27＝61,

所以a·b＝－6.所以cos θ＝

a·b－61

＝＝－.

|a||b|4×32

2π

又因为0≤θ≤π,所以θ＝.

3

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13,所以|a＋b|＝13.

基础知识基础知识

2π2ππ

(3)因为→AB与→BC的夹角θ＝,所以∠ABC＝π－＝. 333

→|＝|a|＝4,|BC→|＝|b|＝3,

又|AB

1→→13

所以S△ABC＝|AB||BC|sin ∠ABC＝×4×3×＝33.

222

8、(必修4 P147A组T9改编)已知函数f(x)＝2cos2x＋23sin xcos x(x∈R)、

π??

(1)当x∈?0，?时,求函数f(x)的单调递增区间；

2??

(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c＝3,f(C)＝2,若向量m＝(1,sin A)与向量n＝(2,sin B)共线,求a,b的值、

π??

解:(1)f(x)＝2cos2x＋3sin 2x＝cos 2x＋3sin 2x＋1＝2sin?2x＋?＋

6??πππ

1,令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ,k∈Z,

262

π?ππ?

解得kπ－≤x≤kπ＋,k∈Z,因为x∈?0，?,所以f(x)的单调递增区

2?36?π??

间为?0，?.

6??

π?π?1??

(2)由f(C)＝2sin?2C＋?＋1＝2,得sin?2C＋?＝, 6?6?2??

而C∈(0,π),所以2C＋

π?π13π?π5π

?,所以2C＋＝π,解得C＝.因∈?，6?6?6663

基础知识基础知识

为向量m＝(1,sin A)与向量n＝(2,sin B)共线,所以

sin A1

＝. sin B2

a1

由正弦定理得＝,①

b2

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos

π

,即a2＋b2－ab＝9.② 3

联立①②,解得a＝3,b＝23.

基础知识基础知识