[第13讲 空间向量与立体几何]
(时间：45分钟)
→
1．若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是( )
A．[0，5] B．[1，5] C．(1，5) D．[1，25]
→→→→
2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．如图13－1，三棱锥A－BCD的棱长全相等，E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为( )
图13－1 A.C.
33 B. 62
331 D. 62
4．a，b是两个非零向量，α，β是两个平面，下列命题正确的是( ) A．a∥b的必要条件是a，b是共面向量 B．a，b是共面向量，则a∥b C．a∥α，b∥β，则α∥β
D．a∥α，bβ，则a，b不是共面向量
5．若a⊥b，a⊥c，l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，则m与l一定( ) A．共线 B．相交 C．垂直 D．不共面
→3→1→1→
6．已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件OM＝OA＋OB＋OC，则直线AM( )
488
A．与平面ABC平行 B．是平面ABC的斜线 C．是平面ABC的垂线 D．在平面ABC内
7．在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值3
为－，若S，A，B，C在同一球面上，则该球的表面积为( )
3A．86 B.6π C．24π D．6π
8．设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k(其中i，j，k是两两垂直的单位向量)．若a4＝λa1＋μa2＋νa3，则实数组(λ，μ，ν)＝________．
→→→
9．已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1，2，3)，OB＝(2，1，2)，OP＝(1，
- 1 -
→→→
1，2)，且点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，OQ＝________．
10．如图13－2，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是________．
图13－2 11．四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，Q是棱PA上的动点，已知四边形ABCD为正方形，边长为2，PA＝4.
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)不论Q点在何位置，是否都有BD⊥CQ？试证明你的结论；
1
(3)若PQ＝PA，求二面角D－CQ－B的余弦值．
4
图13－3
12．如图13－4所示的七面体是由三棱台ABC—A1B1C1和四棱锥D－AA1C1C对接而成，四边形ABCD是边长为2的正方形，BB1⊥平面ABCD，BB1＝2A1B1＝2.
(1)求证：平面AA1C1C⊥平面BB1D； (2)求二面角A－A1D－C1的余弦值．
图13－4 13．如图13－5，四边形ABCD中(图13－5(1))，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝5，AB＝AD＝2.将△ABD沿直线BD折起，使二面角A－BD－C为60°(如图13－5(2))．
(1)求证：AE⊥平面BDC；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值； (3)求点B到平面ACD的距离．
图13－5 专题限时集训(十三)
【基础演练】
- 2 -
→→
1．B [解析] AB＝(2cosθ－3cosα，2sinθ－3sinα，0)，所以|AB|＝13－12cos（θ－α），正确选项为B. 2．B [解析] 当x＝2，y＝－3，z＝2时， →→→→即OP＝2OA－3OB＋2OC，
→→→→→→→→→→
则AP－AO＝2OA－3(AB－AO)＋2(AC－AO)，即AP＝－3AB＋2AC，根据共面向量定理，P，A，
B，C四点共面；反之当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理AP＝mAB＋nAC，
→→→→→→→→→→即OP－OA＝m(OB－OA)＋n(OC－OA)，即OP＝(1－m－n)OA＋mOB＋nOC， 即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3，2.故选B.
→→→
a2
2
4→→1→→→→a3．A [解析] 设棱长为a，则CE·BD＝(CA＋CD)(BC＋CD)＝，所以cosθ＝＝24→→
|CE||BD|
a2
43a·a2
＝
3
，所以正确选项为A. 6
4．A [解析] 选项B中，a，b共面不一定平行；选项C中更不可能；选项D，a，b可能共面．
5．C [解析] m∥a，故m＝λa，m·l＝λa·(αb＋βc)＝λαa·b＋
λβa·c＝0，故m⊥l.
【提升训练】
6．D [解析] 根据共面向量定理的推论，点M在平面ABC内，故直线AM在平面ABC内．
7．D [解析] 如图，取AC中点M，连接SM，BM， 因为AB＝BC＝2，所以BM⊥AC，又SA＝SC＝2， 所以SM⊥AC，所以∠SMB为二面角S－AC－B的平面角， 即cos∠SMB＝－
3
.因为AB⊥BC，所以AC＝2， 3
2
2
2
2
故BM＝（2）－1＝1，SM＝2－1＝3.
- 3 -
在△SMB中，SB＝(3)＋1－2×3×1×－
222
3
＝6，可得SB＝6，所以∠SAB＝∠SCB3
?6?2
＝90°，故SB是三棱锥S－ABC外接球的直径，可得外接球的表面积为4π×??＝6π.
?2?
8．(－2，1，－3) [解析] a4＝λa1＋μa2＋νa3成立， ∵a1＝(2，－1，1)，a2＝(1，3，－2)，a3＝(－2，1，－3)，
a4＝(3，2，5)，
∴(2λ＋μ－2ν，－λ＋3μ＋ν，λ－2μ－3ν)＝(3，2，5)， 2λ＋μ－2ν＝3，λ＝－2，????
∴?－λ＋3μ＋ν＝2，解得这样的λ，μ，ν存在，且?μ＝1， ???λ－2μ－3ν＝5，?ν＝－3.
448→
9.，， [解析] 设Q点坐标为(λ，λ，2λ)，其中λ为实参数，则QA＝(1－λ，2333→→→
－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)
42242→→→2
＝6λ－16λ＋10＝6λ－－，即当且仅当λ＝时，QA·QB取得最小值－，此时OQ＝
3333448
，，. 333
10.
3→
a [解析] 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，AD1＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向3
向量s0＝?－
??22?→
，0，?，由MD1＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离 22?→
→
d＝ |MD1|2－|MD1·s0|2)＝m2＋（a－m）2－（a－m）2＝
1
2321
m－am＋a2，根式内22
－aa3?a?2a12123
的二次函数当m＝－＝时取最小值??－a×＋a＝a，故d的最小值为a.
332?3?32332×2
1116
11．解：(1)VP－ABCD＝S?ABCD·PA＝×2×2×4＝.
333
(2)连接AC，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，而在正方形ABCD中，对角线互相垂直，所以有AC⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又CQ?平面PAC，所以CQ⊥BD.
(3)以点A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系，则有A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，Q(0，0，3)．设n1＝(x1，y1，z1)为平面BCQ的法向量，则→→
有n1·BC＝0，n1·BQ＝0，
- 4 -
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