2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第9讲学案理解析版

第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲

A组 基础关

1．(2018·广西南宁模拟)设随机变量X～N(5，σ)，若P(X＞10－a)＝0.4，则P(X＞

2

a)＝( )

A．0.6 C．0.3 答案 A

解析 因为随机变量X～N(5，σ)，所以P(X＞5)＝P(X＜5)．因为P(X＞10－a)＝0.4，所以P(X＞a)＝1－P(X＜a)＝1－0.4＝0.6.故选A.

2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( ) A．6和2.4 C．2和5.6 答案 B

解析 由已知随机变量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.

3．(2018·浙江嘉兴适应性训练)随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )

2

2

B．0.4 D．0.2

B．2和2.4 D．6和5.6

A．2 C．4 答案 C

111解析 p＝1－－＝，

632

B．3 D．5

E(X)＝0×＋2×＋a×＝2?a＝3，

111222

∴D(X)＝(0－2)×＋(2－2)×＋(3－2)×＝1.

623∴D(2X－3)＝2D(X)＝4.

4．(2018· 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100，

2

1

61213

σ2)(σ＞0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他的速度超过120的概率为( )

A．0.05 C．0.15 答案 C

解析 由题意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜120)＝0.7，

1

B．0.1 D．0.2

则P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3， 1

∴P(ξ＞120)＝P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.

2则他的速度超过120的概率为0.15.

5．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则E(ξ)等于( )

3A. 5C.14 15

x2－xB.

8 15

D．1

答案 A

C3C7

解析 ξ服从超几何分布P(ξ＝x)＝2(x＝0,1,2)，

C10C7217

则P(ξ＝0)＝2＝＝，

C104515C7C37

P(ξ＝1)＝2＝，

C1015C31

P(ξ＝2)＝2＝.

C1015

7713

故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.故选A.

1515155

4

6．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为，

532

，，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其55

分布列如下表所示，则数学期望E(ξ)的值为( )

211

2

ξ P A.39 125

0 6 1251 2 3 24 125a b 5B. 9D．1

9C. 5答案 C

解析 ①学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得A等级有以下

?4?324?3?243?2?三种情况：政、史；政、地；地、史，∴P(ξ＝2)＝?1－?××＋×?1－?×＋××?1－??5?555?5?555?5?

58＝. 125

②根据分布列的性质可得，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－

6－125

2

582437－＝. 125125125

E(ξ)＝0×

63758242259

＋1×＋2×＋3×＝＝，故选C. 1251251251251255

2

7．已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望

E(ξ)为( )

8

A. 92C. 5答案 A

解析 由于对称轴在y轴左侧，故－＜0，故a，b同号，基本事件有3×3×7×2＝

2a6×718×74

126，ξ的可能取值有0,1,2三种．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝

126312694×721428

＝，故期望值为0×＋1×＋2×＝，故选A. 12693999

8．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ，η，其分布列分别为：

3

B. 51D. 3

bξ P 0 0.4 1 0.3 0 0.3 1 0.5 2 0.2 2 0.2 3 0.1 η P 答案 乙

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 解析 甲、乙的均值分别为E(ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，

E(η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，

所以E(ξ)>E(η)， 故乙的技术较好．

9．设平面上的动点P(1，y)的纵坐标y等可能地取－22，－3，0，3，22，用

ξ表示点P到坐标原点的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.

答案

11 5

解析 由题意，随机变量ξ的值分别为3,2,1，则随机变量ξ的分布列为

ξ P 所以随机变量ξ的数学期望 1 1 52 2 53 2 5 3

E(ξ)＝×1＋×2＋×3＝.

10．一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________．

答案 1

解析 将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A4种不同放法，放对的个93C4×21C41数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝4＝，P(ξ＝1)＝4＝，P(ξ＝2)＝4＝，

A48A43A44

1

2

4

1

52525115

P(ξ＝4)＝4＝，

3111

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2××4×＝1.

83424

B组 能力关

1．(2018·浙江高考)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是

1

A4124

则当p在(0,1)内增大时，( ) A．D(ξ)减小 C．D(ξ)先减小后增大 答案 D

解析 由分布列可知E(ξ)＝0×

1－p1p1

＋1×＋2×＝p＋，所以方差D(ξ)＝2222

B．D(ξ)增大 D．D(ξ)先增大后减小

?0－p－1?2×1－p＋?1－p－1?2×1＋?2－p－1?2×p＝－p2＋p＋1，所以D(ξ)是关于p的二

???2?2?2?24????2??2

次函数，开口向下，所以D(ξ)先增大后减小．

2．(2018·潍坊二模)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费＝基准保费×(1＋与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表：

4

为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：

类型 数量 A1 20 A2 10 A3 10 A4 38 A5 20 A6 2 若以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为( )

A．a元 C．0.957a元 答案 D

解析 设X为一辆该品牌车在第四年续保时的费用，由题意可知X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.

由统计数据可知

B．0.958a元 D．0.956a元

P(X＝0.9a)＝0.2，P(X＝0.8a)＝0.1， P(X＝0.7a)＝0.1，P(X＝a)＝0.38， P(X＝1.1a)＝0.2，P(X＝1.3a)＝0.02.

所以X的分布列为

X P 0.956a(元)．

0.9a 0.2 0.8a 0.1 0.7a 0.1 a 0.38 1.1a 0.2 1.3a 0.02 E(X)＝0.9a×0.2＋0.8a×0.1＋0.7a×0.1＋a×0.38＋1.1a×0.2＋1.3a×0.02＝

3．(2018·吉林三模)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布N(110,10)，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90＜ξ≤110为事件A，记该同学的成绩80＜ξ≤100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)＝________.(结果用分数表示)

附：X满足：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.

2

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