[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2020年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域偶函数 01f(－x)＝f(x)，内任意一个x，都有□那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域奇函数 03f(－x)＝－内任意一个x，都有□f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 2．周期性
01(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有□f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
02最小的正数，那么这个□03最小正数就叫(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个□做f(x)的最小正周期．
1．概念辨析
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )
(2)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( ) (3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) (4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．小题热身
图象特点 02y轴对称 关于□04原点对称 关于□
(1)下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝x2sinx C．y＝|ln x| 答案 A
解析 A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数． (2)奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则( )
B．y＝x2cosx D．y＝2x
－
A．f(2)>0>f(4) B．f(2)<0 解析 因为奇函数y＝f(x)，所以f(－4)＝－f(4)，f(－2)＝－f(2)． 因为f(－4)>0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)． (3)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________． 答案 5 解析 由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5. (4)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6x，则f(919)＝ － ________. 答案 6 解析 因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因为当x∈[－3,0]时，f(x)＝6x，且f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. － 题型 一 函数的奇偶性 角度1 判断函数的奇偶性 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3－x2＋x2－3； (2)f(x)＝(1－x) 1＋x ； 1－x lg 1－x2 (3)f(x)＝； |x－2|－2 ?x2＋x，x<0，? (4)f(x)＝?2 ?－x＋x，x>0.? 2??3－x≥0， 解 (1)由?2得x2＝3，解得x＝±3， ?x－3≥0，? 即函数f(x)的定义域为{－3，3}， ∴f(x)＝3－x2＋x2－3＝0. ∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． 1＋x(2)由≥0得－1≤x<1， 1－x所以f(x)的定义域为[－1,1)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数． ?1－x2>0，?(3)由?得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称． ?|x－2|≠2，? ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x， lg 1－x2 ∴f(x)＝. －xlg [1－－x 又∵f(－x)＝ x∴函数f(x)为奇函数． (4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x， 总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数． 角度2 奇函数、偶函数性质的应用 2 ]lg 1－x2＝＝－f(x)， x 2．(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为________； 2x＋2 (2)已知f(x)＝x，若f(ln (a2＋1＋a))＝1，则f(ln (a2＋1－a))＝________； 4－1 ?a＋1?为偶函数，则a＝________. (3)(2018·河南南阳模拟)若函数f(x)＝x?1－x? ?e＋1? 答案 (1)－x3－x＋1 (2)－3 (3)1或－1 解析 (1)当x<0时，－x>0. 因为f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1. 2x＋22x＋22－2·4x (2)f(x)＋f(－x)＝x＋－x＝x＝－2， 4－14－14－1 － 2 而ln (a2＋1＋a)＋ln (a2＋1－a)＝ln 1＝0， 因此f(ln (a2＋1＋a))＋f(ln (a2＋1－a))＝－2， f(ln (a2＋1－a))＝－2－1＝－3. a2＋1 (3)令u(x)＝1－x， e＋1 ?a＋1?为偶函数， 根据函数f(x)＝x?1－x? ?e＋1? a2＋1 可知u(x)＝1－x为奇函数， e＋1a2＋1 利用u(0)＝1－0＝0， e＋1可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1. 1．判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 2
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