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初三数学专题复习—分类讨论问题
在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。它体现了数学中化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．
一、典型例题
例1.已知直角三角形两边、的长满足， 则第三边长为 。
例2. ⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝， 则AB和CD的距离是（ ）
A. 7㎝ B. 8㎝ C. 7㎝或1㎝ D. 1㎝ 例3. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM＝ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
0
例4. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，
当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。 ⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
二、练习
1．如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是( ) A．(4,0) B．(1,0) C．(－2 2，0) D．(2,0)
2?x，?x＋?2．若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是( ) ?，?2xx＞
A．±6 B．4 C．±6或4 D．4或－6
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)，连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是( ) A．(8,4) B．(8,4)或(－3,4) C．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)
?7?D．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或?－，4? ?6?
4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为多
2
少cm？( )
A．4 B．12 C．4或12 D．6或8
5．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝(k≠0) 的图象交于点A(m,1)，则k的值是( )
kx学习必备 欢迎下载
222
或 C. D.2 222
6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 一个等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角是 °
7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有_____个．
8．在△ABC中 ，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为多少？
9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为多少？
10．(柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．
11．(南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物
2
线y＝a(x－1)＋k(a＞0)，经过其中三个点．
2
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)＋k(a＞0)上；
2
(2)点A在抛物线y＝a (x－1)＋k(a＞0)上吗？为什么？ (3)求a和k的值．
12、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，
2
点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax+bx+c，顶点为点N． (1)求过A、C两点直线的解析式；
(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．
A．－2或2 B．－
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中考数学专题复习 分类讨论问题 参考答案
一、 例题参考答案
【例题1】解：由已知易得⑴若⑵若⑶若
。 ， 。
是三角形两条直角边的长，则第三边长为是三角形两条直角边的长，则第三边长为是一直角边的长，
。
是斜边，则第三边长为
∴第三边长为
【例题2】解：因为弦AB、CD均小于直径，
故可确定出圆中两条平行弦AB和CD的位置关系有两种可能： 一是位于圆心O的同侧，二是位于圆心O的异侧。
如图1，过O作EF⊥CD，分别交CD、AB于E、F，则CE＝4㎝，AF＝3㎝。 由勾股定理可求出OE＝3㎝，OF＝4㎝。当AB、CD在圆心异侧时，距离为OE＋OF＝7㎝。 当AB、CD在圆心同侧时，距离为OF－OE＝1㎝。选C。
图1
【例题3】解：勾股定理可得AE＝。
当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况： ⑴当DM与BE是对应边时，⑵当DM与AB是对应边时，
，即，即
。
故DM的长是。
【例题4】：⑴过点P作PM⊥BC，垂足为M， 则四边形PDCM为矩形，∴PM＝DC＝12。
∵QB＝16－，∴。 ⑵由图可知，CM＝PD＝2，CQ＝，
若以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： ①以Q为顶点，由图可知，PQ＝BQ。
在Rt△PMQ中，
②若以B为顶点，则BQ＝BQ。在Rt△PMB中，
，即
∵△＝∴解得
，
无解，∴
。
，解得
。 ，
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③若以P为顶点，则PB＝PQ。在Rt△PMB中，解得
不合题意，舍去）。
秒或
。
综合上面原讨论可知：当秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
二、当堂达标参考答案
1、答案 B
解析 当P点坐标为(4,0)时，点A在OP的中垂线上，OA＝PA；当P点坐标为(－2 2，0)时，OP＝OA＝2 2；当P点坐标为(2,0)时，OP＝AP＝2，所以P点坐标不可能为(1,0)． 2、答案 D
解析 当x≤2时，x＋2＝8，x＝±6(舍去6)；当x>2时，2x＝8，x＝4.综上，x＝－6或x＝4. 3、答案 D
解析 ∵点A的坐标为(3,4)，
2
∴OA＝32＋42＝5.当AP＝AO时，可知P1(－2,4)，P2(8,4)，当OP＝OA时，可知
P3(－3,4)，当PO＝PA时，设PO＝PA＝m.有(m－3)2＋42＝m2，
25m＝，
6
7?7?∴m－3＝，P4?－，4?，故选D. 6?6?
4、答案 C
解析 如图①，S矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.
5、答案 B
k1222
解析 A(m,1)代入y＝中，得m＝k，代入y＝2kx中，得2k＝1，k＝，所以k＝±.
x22
6、答案 70°，70°，40°或55°，55°，70°
解析 当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角
180°－70°
形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为＝55°.
2
7、答案 4
解析 当MC为底边时，MC的中垂线交CD于一点P，该点能满足PM＝PC；当MC为腰时，分别以C、M为圆心，MC长为半径画圆，⊙C与CD交于一点P，⊙M与AB、AD各有一个交点，因此，满足条件的点P有4个． 8、答案 11或13
解析 当0 解析 题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F1点，则F1C＝1； 旋转得到F2点，则F2B＝DE＝2，F2C＝F2B＋BC＝5. 10、解 ∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°，AB＝2BC＝4. 1 当∠BFE＝90°时，∵F是BC中点，∴BF＝×2＝1. 2 在Rt△BEF中，∠B＝60°，∴BE＝2BF＝2×1＝2，AE＝4－2＝2. 学习必备 欢迎下载 又∵AE＝2t，∴2t＝2，t＝1. 11111 当∠BEF＝90°时，在Rt△BEF时，BE＝BF＝，∴AE＝4－＝3，∴2t＝3，t＝1.75. 22222 1 同样，当t＝1.75＋＝2.25时，∠BEF＝90°. 2 综上，t＝1或1.75或2.25. ??4a＋k＝2，2 11、解 (1)证明：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)＋k(a＞0)，得?解得a＝0，∴与条件 ?9a＋k＝2，? a＞0不符，∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上． (2)解法一：∵A、C、D三点共线(如下图)， ∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上． ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A、B、C；②A、B、E；③A、B、D；④A、D、E； ⑤B、C、D；⑥B、D、E. 将①、②、③、④四种情况(都含A点)的三点坐标分别代入y＝a (x－1)2＋k(a＞0)，解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解． 所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上． 解法二：抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点为(1，k)，假设抛物线过A(1,0)，则点A必为抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与(1)矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上． (3)①当抛物线经过(2)中⑤B、C、D三点时，则 ?a＋k＝－1，?a＝1，???解得? ???4a＋k＝2，?k＝－2. ②当抛物线经过(2)中⑥B、D、E三点时，同法可求： ??11?k＝－8.3a＝，8 ??a＝1， 综上，a和k的值为? ?k＝－2? 3 a＝，??8或?11 k＝－.??8 12、.解：(1)过点A、c直线的解析式为y=(2)抛物线y=ax－5ax+4a． 59 ∴顶点N的坐标为( ，－ a)． 24 2 22x－ 33由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上， 1992 又点N在半圆内， ＜－ a ＜2，解这个不等式，得－ ＜a＜－ ． 2489(3)设EF=x，则CF=x，BF=2－x 97 在Rt△ABF中，由勾股定理得x= ，BF= 88 学习必备 欢迎下载
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