2.2.1向量的加法
一、课前自主导学
【学习目标】
1. 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
【学习重点】会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 【学习难点】理解向量加法的定义 【教材助读】
情景引入：（预习教材P74—P76）
（1）某人从A到B，再按原方向从B到C，
A B C
→
则两次的位移和：AB?BC? AC （2）若上题改为从A到B，再按反方向从B到C， →
则两次的位移和：AB?BC? AC （3）某车从A到B，再从B改变方向到C， →
则两次的位移和：AB?BC? AC （4）船速为AB，水速为BC，则两速度和： →AB?BC? AC A B A B
C
C A B C
合作探究
探究一：向量加法——三角形法则和平行四边形法则
问题1：在情景引入（3）中两次位移的和向量AC与向量AB,BC的关系如何？
??1、向量加法的三角形法则(“首尾相接”)：已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作?????????????→AB?a,BC?b，则向量___AC_______叫做a与b的和，记作_____a?b____ ，
即a??→b=__ AB?BC? __ __=_AC_____ ，这种求向量和的方法称为向量加法的
?三角形 法则.
→→→→
2、向量加法的平行四边形法则：已知向量a，b，作AB＝a，AD＝b，再作平行AD的BC＝b，→→
连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量AC叫作向量a与b的和，表示为AC＝a＋b 3、对于零向量与任一向量a，我们规定
??????a+0=_0+a________=___a_.
探究二：向量加法的交换律和结合律
问题2：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也呢？
有运算律
??4、对于任意向量a，b，向量加法的交换律是：___ a＋b＝b＋a ____ 结合律
是：_(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)________ ____.
小结：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的 始点 与第一个向量的 终点 重合. 拓展提升
一般地|a+b|≤ |a| + |b|
??????????当a与b不共线时，|a+b|?|a| + |b|
??????当a与b共线且同向时，|a+b|=|a| + |b|
??????当a与b共线且反向时，|a+b|=||a| —|b||
【预习自测】 1．化简
MB?BA?AC? MC OA?OC?BO?CO? BA 2．在平行四边形ABCD中，下列各式中不成立的是 (1)(2)(4) （1）AB?（3）AC????BC?CA （2）AB?AC?BC
?????????????????????????BA?AD （4）AC?AD?DC
???????????????????????????????AB?a,AC?c, BC?b，3．已知正方形ABCD的边长为1，则|a?b?c|为（ ）
A．0 B．3 C．2 D．22 【答案】D
二、课堂互动探究
【例1】化简下列各式：
(1)PB＋OP＋OB；(2)AB＋MB＋BO＋OM
→→→→→→→→→→→→→→→→
解：(1)PB＋OP＋OB＝(OP＋PB)＋OB＝OB＋OB＝2OB；
→→→→→→→→→→→(2)AB＋MB＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＝AO＋OB＝AB. 【巩固训练】
→→→
化简: (1)CD＋BC＋AB； →→→→→(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA； →→→→→(3)AO＋OB＋OC＋CA＋BO．
→→→→
解：(1)原式＝AB＋BC＋CD＝AD；
→→→→→
(2)原式＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝0；
→→→→→→→
(3)原式＝(AO＋OC)＋CA＋(OB＋BO)＝AC＋CA＋0＝0.
【例2】如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量： →→(1)OA＋OC； →→(2)BC＋FE；
→→(3) OA＋FE．
→→→→→→→→
解：(1)OA＋OC＝OB； (2)BC＋FE＝AD； (3)OA＋FE＝0. 【例3】一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为2 km/h，求船实际航行的速度的大小与方向．
→→
解：如图，设AD表示船垂直于对岸的速度，AB表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行
→
四边形ABCD，则AC就是船实际航行的速度．
→→
在Rt△ABC中，|AB|＝2，|BC|＝23， →→→
∴|AC|＝|AB|2＋|BC|2＝4.
23
∵tan∠CAB＝＝3，
2
∴∠CAB＝60°.
【迁移与应用】
如图(1)，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
→→
解：如图(2)，设CE、CF分别表示A、B所受的力，10 N的→
重力用CG表示， →→→则CE＋CF＝CG.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴∠CEG＝∠CFG＝90°，
3→→
∴|CE|＝|CG|cos 30°＝103＝53，
2
1→→
|CF|＝|CG|cos 60°＝103＝5.
2
∴A处所受力的大小为53 N，B处所受力的大小为5 N.【我的收获】
[来源学科网Z|X|X|K]
三、课后知能检测
????????1.如图，D、E、F分别为?ABC的三边BC、CA、AB的中点， 则EB?FC? （ ）
????1????A.AD B. AD
2?????1???C. BC D. BC
2答案：A
2. 如图，D、E、F分别为?ABC的边AB、BC、CA的中点，则( )
?????????????A. AD?BE?CF?0 ?????????????C. AD?CE?CF?0
答案：A
[来源:学.科.网]?????????????B. BD?CF?DF?0 ?????????????D. BD?BE?FC?0
B A
D E
F
C
?????????????3. O为三角形ABC内一点，若OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 答案：D
[来源:学#科#网Z#X#X#K]????1??????????????????CB?OAAB?（ ） 4.四边形OABC中，，若OA?a，OC?b，则
21??1??1???1?A．a?b B．a?b C．a?b D．?a?b
2222答案：D
???????????????AM?（ ） 5.在?ABC中，已知M是BC中点，设CB?a,CA?b,则
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