【解析】 如图所示：作 OG∥EF交DC于G，由于DE＝EO，得DF＝FG. →1→111
又由AO＝OC得FG＝GC，于是DF＝DC＝(－b＋a)，
3322→→→1111121
那么AF＝AD＋DF＝(a＋b)＋(－b＋a)＝a＋b.
2232233【答案】 B
→→
4．如果向量AB＝i－2j，CB＝i＋mj，其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．
→→
【解】 ∵A、B、C三点共线，即AB、CB共线，
→→
∴存在实数λ使得AB＝λCB，即i－2j＝λ(i＋mj)．∴i－2j＝λi＋λmj.
?λ＝1，?于是?解得m＝－2，即m＝－2时，A、B、C三点共线.
?λm＝－2.?【
二、课堂互动探究
1
【例1】计算：(1)3(6a＋b)－9(a＋b)；
31113
(2)[(3a＋2b)－(a＋b)]－2(a＋b)； 2228(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
【思路探究】 准确应用向量的数乘，加法、减法的运算律化简． 【自主解答】 (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. 13333
(2)原式＝(2a＋b)－a－b＝a＋b－a－b＝0.
22444(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 【巩固训练】 211
(1)化简[(4a－3b)＋b－(6a－7b)]；
334
12
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(a－b)－(a－b)＋(2b－a)．
3321372317
【解】 (1)原式＝[4a－3b＋b－a＋b]＝[(4－)a＋(－3＋＋)b]
33243234
2511511＝(a－b)＝a－b. 3212318
1212
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b
3333
5555
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
3333101055
＝(－5＋)i＋(－－)j＝－i－5j.
3333
【规律方法】
1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 2．对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减． →→→
【例2】已知两个非零向量a、b不共线，OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝a＋3b. (1)证明：A、B、C三点共线．
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
→→→→→→→→
【思路探究】 (1)AB＝OB－OA→AC＝OC－OA→找出AB与AC的等量关系 (2)令ka＋b＝λ(a＋kb)→利用a与b不共线，求λ、k
→→→
【自主解答】 (1)证明 由于OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝a＋3b， →→→
则AB＝OB－OA＝a＋2b－a－b＝b， →→→
而AC＝OC－OA＝a＋3b－a－b＝2b， →→→→
于是AC＝2AB，即AC与AB共线，
→→
又∵AC与AB有公共点A，∴A、B、C三点共线． (2)解 由于a、b为非零向量且不共线，∴a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)， 整理得：(k－λ)a＝(λk－1)b， 因为非零向量a、b不共线，
?k－λ＝0?k＝1?k＝－1???因此?，∴?，或?，
???λk－1＝0λ＝1λ＝－1???
即存在实数λ＝1，使ka＋b与a＋kb共线，
此时k＝1.或存在实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb共线， 此时k＝－1，因此，k＝±1都满足题意． 【规律方法】
1．本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线．
2．证明两个向量a与b共线时，只需证明a＝λb(b≠0)．若已知a与b(b≠0)共线，则可利用两向量共线的性质，得到λ1a＝λ2b.
利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证A，B，C三点共→→→→→→
线，只需证AB＝λAC或AB＝kBC(λ，k∈R)等；要证AB∥CD，只需证AB＝λCD(λ∈R)．也可解决相关求参问题．
【巩固训练】已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1.若a与b共线，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．λ＝0或e1∥e2
【解析】 e1∥e2时，显然a与b共线；若e1，e2不共线，设a＝kb，则有(1－2k)e1＋λe2＝0，
???k＝，?1－2k＝0，
于是?，即?2
?λ＝0，??
1
?λ＝0.
【答案】 D
→→
【例3】图所示，已知?ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且AK＝e1，AL＝e2，试→→
用e1，e2表示BC，CD.
→→
【思路探究】 解答本题可先将BC，CD视为未知量，再利用已知→→
条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出BC，CD. →→1
【自主解答】 法一 设BC＝x，则BK＝x，
2
→→1→→→→11
AB＝e1－x，DL＝e1－x，又AD＝x，由AD＋DL＝AL得
224→411422
x＋e1－x＝e2，解方程得x＝e2－e1， 即BC＝e2－e1， 243333→→→→142由CD＝－AB，AB＝e1－x，得CD＝－e1＋e2.
233→→→1→1
法二 设BC＝x，CD＝y，则BK＝x，DL＝－y.
22→→→→→→
由AB＋BK＝AK，AD＋DL＝AL得
??1
?x－2y＝e， ②
2
1
－y＋x＝e1， ①
2
1
用2乘以②与①相减得x－2x＝e1－2e2，解得
2→22
x＝(2e2－e1)，即BC＝(2e2－e1)， 33→242同理得y＝(－2e1＋e2)，即CD＝－e1＋e2.
333
三、课后知能检测
一、选择题
[来源:学科网ZXXK]
1．已知|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，若a＝λb，则λ的值为( ) 5577
A. B．－ C. D．－ 7755
|a|55
【解析】 由于＝，且a，b反向，所以a＝－b，故选B.
|b|77【答案】 B
→→→
2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM等于( ) 1111
A.(a－b) B．－(a－b) C.(a＋b) D．－(a＋b) 2222→1
【解析】 ∵M是BC的中点，∴AM＝(a＋b)．
2【答案】 C
→→→
3．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，且a、b不共线，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形
D．矩形
→→→→→
【解析】 ∵AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，→→∴AD∥BC，
→→
又∵AB与CD不平行，所以四边形ABCD为梯形，故选A. 【答案】 A
→→→
4．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
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