→→→→
【解析】 BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB， →→
∴BD与AB共线，∴A、B、D三点共线． 【答案】 A
→→→1→→
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于( )
32112A. B. C．－ D．－ 3333
【解析】 如图所示：
→→→→2→→2→→1→2→CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB.
33332
所以λ＝. 3【答案】 A 二、填空题
6．设a、b是两个非零向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实数k＝________.
?8＝－λk，?
【解析】 由题意知8a－kb＝λ(－ka＋b)，即?
?－k＝λ.?
∴k＝±22. 【答案】 ±22
→→→→→
7．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________.(用a、b表示)
→→→→→1
【解析】 由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)．又∵AM＝a＋b，
2→→→3111所以MN＝AN－AM＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.
424411
【答案】 －a＋b
44
→→→CDAE1
8．如图，△ABC中，＝＝，若BC＝a，CA＝b，DE＝λa＋μb，则λ＋μ________.
DAEB2
→→→1→2→1→→2→
【解析】 ∵DE＝AE－AD＝AB－AC＝(AC＋CB)＋CA
3333
1121111＝－b－a＋b＝b－a.∴λ＋μ＝－＋＝0.
3333333【答案】 0 三、解答题
19．如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN＝BD.
3求证：M、N、C三点共线． →→
【证明】 设AB＝a，AD＝b，
→→→1→1→1→1→→则MN＝MB＋BN＝AB＋BD＝AB＋(AD－AB)
2323
1→1→1111
＝AB＋AD＝a＋b＝(a＋b)． 636332→→→1→→1
MC＝MB＋BC＝AB＋AD＝a＋b.
22→1→→→
∴MN＝MC，∴向量MN与MC共线．
3
→→
又由于MN与MC有公共点M，故M、N、C三点共线．
→→→
10．设e1，e2是不共线的向量，已知向量AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值．
→→→→→
【解】 证明存在实数λ，使得AB＝λBD. 又BD＝CD－CB＝e1－4e2， →→
所以要使AB＝λBD，则2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
??λ＝2，所以?所以k＝－8.
?k＝－4λ.?
→2→1→
11．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交
33→→
点为M，若CM＝tCP，则t等于多少？
→→→
【解】 ∵A、M、Q三点共线，∴CM＝αCQ＋βCA(α＋β＝1)， →1→α→β→α→β→∴CP＝CM＝CQ＋CA＝CB＋CA，
ttt2tt→2→1→2t2t
又∵CP＝CA＋CB，∴α＝，β＝，
3333
2t2t3
所以α＋β＝＋＝1，∴t＝.
334
12.如图所示，D，E分别是△ABC中边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已→→→→→
知BC＝a，BD＝b，试用a、b分别表示DE、CE、MN.
→1→→11
【解】由三角形中位线定理，知DE∥BC，故DE＝BC，即DE＝a.
222→→→→11
CE＝CB＋BD＋DE＝－a＋b＋a＝－a＋b.
22
→→→→1→→1→111
MN＝MD＋DB＋BN＝ED＋DB＋BC＝－a－b＋a＝a－b.
22424
[来源:学科网]????????????13.设a、b是不共线的两个非零向量， (1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求
证：A、B、C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
????解：(1)证明：∵AB＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， ????????而BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，
????????∴AB与BC共线，且有公共端点B， ∴A、B、C三点共线.
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b) ?(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，
?8??k?0?8?2???2∴k?2???4. ?k?2??0? 2.4.1 、2.4.2 平面向量坐标表示
一、课前自主导学
【学习目标】（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算．
【重点、难点】平面向量线性运算的坐标表示
【温故而知新】平面向量基本定理
如果e1和e2(如图2－3－7①)是同一平面内的 的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在 一对实数λ1，λ2，使 (如图2－3－7②)，其中 的向量e1和e2叫作表示这个平面内所有向量的一组 ．
答案：2.两个不共线 唯一 a＝λe1＋λ2e2 不共线 基底 【教材助读】阅读P86－87并回答问题
1、在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量a?xi?yj 记作：a= 称作向量a的坐标
如： c=OC=i?5j= i= j= 0= ?????????ab2、+=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+ x2)i+ (y1+y2)j即：a+b= ????同理：a?b= λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj∴λa=
结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. ②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 答案1、(x, y)、(2, 2)、(1, ?5)、(1, 0)、(0, 1)、(0, 0) 2、(x1+ x2,y1+y2)、(x1?x2, y1?y2)、(λx, λy)
????????【预习自测】1、a=OA=2i?2j= b=OB=2i?j=(2, ?1)
??2、设向量a,b坐标分别是（-1，2），（3，-5）
[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
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