7→→
2，－?.∵A，M，D三点共线， 则AM＝(x，y－5)，而AD＝?2??7→→
∴AM与AD共线．∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
2557→→
x，y－?，CB＝?4－0，3－?＝?4，?. 而CM＝?4?4??4???
→→
∵C，M，B三点共线，∴CM与CB共线．
57
y－?＝0，即7x－16y＝－20.② ∴x－4??4?4
12?12
由①和②得x＝，y＝2.∴点M的坐标为??7，2?. 7
2.5.1 平面向量的数量积
一、课前自主导学
【学习目标】
1．理解平面向量数量积的概念；
2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,?]； 3．掌握两向量共线及垂直的充要条件； 4．掌握向量数量积的性质。
【重点、难点】向量数量积及其重要性质； 【温故而知新】 预习填空： 1．向量的夹角：
[来源:Z*xx*k.Com][来源:学.科.网]B?b????????????已知两个向量a和b（如图2），作OA?a，OB?b，则
??????AOB??（0???180）叫做向量a与b的夹角。
O? A??????当??0时，a与b同向； 当??180时，a与b反向； 图（2）
????????当??90时，a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作a?b．
2．向量数量积的定义：
??????已知两个非零向量a和b，它们的夹角为?，则数量|a|?|b|?cos?叫做a与b的数量积（或
??????内积），记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其 夹角有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数 量；实数与向量的积是一个向量； ③规定，零向量与任一向量的数量积是0． 3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：
??????如图，OA?a，，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1?|b|cos?．
B?b ?? a O B1 A?b ? ?a B1 O B
B?b ? AO( B1) A
???|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影，当?为锐角时，它是正值；当?为钝角时，它是一
?????负值；当??90时，它是0；当??0时，它是|b|；当??180时，它是?|b|
?????????（2）a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos?的乘
积。
（3）数量积的性质：
??????a?b设a、b都是非零向量，?是a与b的夹角，则①cos????；
|a||b|???????????????②当a与b同向时，a?b?|a||b|；当a与b反向时，a?b??|a||b|；特别地：a?a?|a|2???????或|a|?a?a；③|a?b|?|a||b|； ????④a?b?a?b?0；
???????⑤若e是与b方向相同的单位向量，则e?a?a?e?|a|cos?
平面向量数量积的运算律
????1．交换律：a?b?b?a
??????（?a）?b =?（a?b）??b）2．数乘结合律： = a（
???????3．分配律：（a?b)?c?a?c?b?c ??????说明：（1）一般地， （a?b)?c?a（?b?c） （2）a?c?b?c，c?0?a?b???????[来源:学科网ZXXK]
?????????????2?2（3）有如下常用性质：a?a，（a?b)（?c?d)＝a?c＋a?d＋b?c＋b?d
??2?2???2(a?b)?a?2a?b?b
【我的困惑】
二、课堂互动探究
【例1】已知：a?2,b?3,a与b的夹角为120,求(1)a?b.(2)a?b.
022解：（1）a?b?a?b?4?9??5 （2）a?b?(a?b)?a?2ab?b?2222222a?2abcos??b?7
22
?????????????????????【例2】已知正?ABC的边长为2，设BC?a，CA?b，AB?c，求a?b?b?c?c?a．
???????解：如图，a与b、b与c、a与c夹角为120，
????????∴原式?|a|?|b|?cos120?|b|?|c|?cos120?|a|?|c|?cos120?
1A ?2?2?(?)?3??6．
2
B C
????????【例3】（1）已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与a-kb互
相垂直?
?????????（2）已知a,b是两个非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量b与a-b的夹角.
????????解:（1）a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)2(a-kb)=0,
?2?22?2?232即a-kb=0.∵a=9,b=16,∴9?16k=0.∴k=±.
4????3也就是说,当k=±时,a+kb与a-kb互相垂直.
42222
（2）∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b=(a+b).∴|b|=|a|+2a·b+|b|2.
131∴a·b=-|b|2 b·(a-b)=b·a-b2=?|b|2-|b|2=?|b|2
2221(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×(?)|b|2+|b|2=3|b|2 ∴|a-b|=3|b|.
2b?(a?b)|b|233,,得cos〈b,a-b〉=-∵cos〈b,a-b〉=. ??|b||a?b|22|b|?3|b|5?. 6????????【例4】（1）设向量c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=22,|c|=4,a⊥c,b2c=-4,且b?与c的夹角为120°,求m,n的值.
????????（2）已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为45°,且向量λa+b与a+λb的夹角为锐角,又∵〈b,a-b〉∈［0,π］, ∴〈b,a-b〉=
求实数λ的取值范围. 解:（1）∵a⊥c,∴a·c=0. 又c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·c, 即|c|2=ma·c+nb·c.∴|c|2=nb·c. 由已知|c|2=16,b·c=-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c=ma-4b. ∵b·c=|b||c|cos120°=-4, ∴|b|·4·(?12
)=-4.∴|b|=2. 由c=ma-4b,得a·c=ma-4a·b, 2
∴8m-4a·b=0,即a·b=2m. 再由c=ma-4b,得b·c=ma·b-4b2. ∴ma·b-16=-4,即ma·b=12. 联立①②得2m2=12,即m2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4
（2）λ??11?85?11?85或λ? 66【我的收获】
三、三、课后知能检测
1. 判断下列说法的正误，并说明理由.
[来源:Z&xx&k.Com]
????????(1) 在?ABC中，若AB?BC?0，则?ABC是锐角三角形. （ 错 ） ????????(2) 在?ABC中，若AB?BC?0，则?ABC是钝角三角形. （ 对 ）
????????(3) ?ABC为直角三角形，则必有AB?BC?0. （ 错 ）
?????????????2. 在平面直角坐标系中，向量|AB|?4，AB与x轴正方向的夹角为120，则AB
在x轴、y轴上的射影分别为 （ C ）
A. 2,23 B. ?2,?23 C. ?2,23 D. 2,?23 ????????3. 已知向量a、b满足a?b?0，|a|?1,|b|?2，则|2a?b|?（ B ）
A. 0
B. 22 C. 4
D. 8
[来源:学#科#网]
??????4. 设两个向量a与b的夹角为?，a?b为向量a、b的“外积”，其长度为
??????????|a?b|?|a||b|sin?，已知|a|?1，|b|?5，a?b??4，则|a?b|?（ C ）
A. 1
B. 2 C. 3
D. 4
????????5. 已知向量a、b满足：|a|?1，|b|?2，|a?b|?2，则|a?b|?（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
??????6. 已知a?(1,1)，且a与a?2b的方向相同，则a?b取值范围是 (?1,??) .
???????27. 已知|a|?2|b|?0，且关于x的方程x?|a|x?a?b?0有实根，则a与b夹 ????????角的取值范围是 ?,?? . 8. 已知|a|?2，|b|?1，a与b的夹角为60，则
?3????????7m?2a?b与n?a?4b的夹角?的余弦值为 ? . 14?????????????????????9. 设两个向量e1，e2满足|e1|?2，|e2|?1，e1与e2夹角为60，若向量2te1?7e2与
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