平面向量导学案

?????14141)?(?,?) e1?te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是(?7,?222?????????????10. 设向量a、b、c满足a?b?c?0，(a?b)?c，a?b，若|a|?1，求 ?2?2?2|a|?|b|?|c|的值

【答案】4

?????????????????11．已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，a?3e1?2e2， b?2e1?3e2

??????(1)求a?b; (2)求a?b与a?b的夹角

??11?【答案】 (1) a?b? (2)

22

2.6.1 平面向量数量积的坐标表示 导学案

一、课前自主导学

【学习目标】

1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；

2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 【重点、难点】

1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；

2．向量数量积坐标表示在有关长度、角度、垂直问题中的应用 【温故而知新】 预习填空：

[来源:学科网]1. 平面向量数量积（内积）的坐标表示：

????设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?x1x2?y1y2

2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要论： (1)向量的模的坐标表示：

?22??2|a|?x?y?|a|?x2?y2 若a?(x,y)，则

(2)平面上两点间的距离公式：

?向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2?x1)2?(y2?y1)2.

(3)两向量的夹角公式：

cos??a?b?|a||b|x1x2?y1y2x?y?x?y21212222

????3. 两个向量垂直的判定（坐标表示）:∵a?b?a?b?0，即x1x2?y1y2?0

????4. 两个向量平行的判定（坐标表示）:a//b(b?0) 即 x1y2?x2y1?0

【我的困惑】

二、课堂互动探究

【例1】（1）已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状

（2）在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值. 解：（1）∵AB=(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB2AC=13(-3)+133=0. ∴AB⊥AC. ∴△ABC是直角三角形.

（2）由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论. 若∠A=90°,则AB⊥AC,所以AB2AC=0. 于是231+3k=0.故k=?211.同理可求,若∠B=90°时,k的值为;

332113?133?13.故所求k的值为?或或

3322若∠C=90°时,k的值为

【例2】1．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝(－

1,1)或(－3,1)

2．已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b互相垂直？

解：（2）(3a＋5b)·(ma－3b)＝3m｜a｜2－9a·b＋5ma·b－15｜b｜2 ＝27m＋(5m－9)×3×2cos60°－15×4＝42m－87＝0 8729

∴m＝ ＝ 时，(3a＋5b)⊥(ma－3b)

4214

【例3】1．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？

2．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小． 解：1.∵a－b＝(3－k，－2－k)∴t＝|a－b|＝（3－k）2＋（－2－k）2 ＝2k2－2k＋13 ＝

1252（k－ ）2＋

22

152

∴当k＝ 时，t取最小值，最小值为. 22

2.(1)∵a∥b，∴3x＝439，∴x＝12.∵a⊥c，∴334＋4y＝0， ∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，

n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝ (7,1)，设m、n的夹角为θ，

－337＋?－4?31－252m·n

则cos θ＝＝＝＝－. 2222|m||n|2252?－3?＋?－4?·7＋1

3π3π

∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.

44

【例4】已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度． (1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， →→→→∴AB＝(1,1)，AD＝(－3,3)．又AB·AD＝13(－3)＋133＝0， →→

∴AB⊥AD，即AB⊥AD

→→→→(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC.

→

设C点的坐标为(x，y)，则DC＝(x＋1，y－4)，

?x＋1＝1?x＝0??

从而有?，即?，∴C点的坐标为(0,5)．

??y－4＝1y＝5??→→

又BD＝(－4,2)，|BD|＝25，

∴矩形ABCD的对角线的长度为25. 【我的收获】

[来源:学科网ZXXK]

三、课后知能检测

1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|－4a2b等于( D ) A．23 B．57 C．63 D．83

2

2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( C )

1365

A.13 B. C. D.65

55

3．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)向量?a＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( A )

1111A．－ B. C．－ D. 7766

4．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c， 则|a＋b|＝( B )

A.5 B.10 C．25 D．10.

5．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a2b)b，则|c|等于( D ) A．42 B．25 C．8 D．82

6．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，则cos?＝____1____.

[来源:学.科.网Z.X.X.K]2π

7．已知a＝(，)，b＝(，－)，则向量3a＋b与－2(3a－b)的夹角为____

35555

2

1

1

2

____．

8．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝___2_____.

9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3 (2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0 解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3, 0)， |a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝| (－2,0)|＝2.

当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， |a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝25.

→→

10．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，(1)试求向量2AB＋AC的模；

→→

(2)若向量AB与AC的夹角为θ，求cos?

→

解：(1)∵A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，∴AB＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，

→

AC＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，

→→

∴2AB＋AC＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)，

→→

∴|2AB＋AC|＝ ?－1?2＋72＝52.

→→

(2)由(1)知AB＝(－1,1)，AC＝(1,5)，

?－1，1?·?1，5?213 ∴cos θ＝＝ 13?－1?2＋12312＋52[来源:Z|xx|k.Com][来源:Zxxk.Com]