2020年中考数学相似三角形的概念和判定专题复习

2020年中考数学相似三角形的概念和判定专题复习

AFEB

例3-3如图，在?ABC中，AB?AC，D点是CB的延长线上一点，E是BC延长线上的一点，且满足AB2?DB?CE； 求证：（1）若?BAC?40o，求?DAE?ADB∽?EAC （2）的度数.

DC

ADBCE

参考答案：证明：（1）∵AB?AC ∴?ABC??ACB ∴?ABD??ACE ∵AB2?DB?CE,AB?AC ∴

ABDB ∴?ADB∽?EAC ?CEAC（2）∵?BAC?40o,AB?AC ∴?ABC?70o

∵?ADB∽?EAC ∴?D??CAE ∴

?DAE??DAB??BAC??CAE??BAC??DAB??D??BAC??ABC?110o

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例3-4如图，在正方形网格上有两个三角形A1B1C1和A2B2C2，求证:?A1B1C1∽?A2B2C2 参考答案：设小正方形边长为1，则A2C2?2，B1C1?5

由勾股定理可得：A2B2?2，B2C2?10，A1B1?5，AC11?10 ∴A1B1:A2B2?5:2?10:2

AC11:A2C2?10:2，BC11:B2C2?5:10?10:2

∴

A1B1ACBC?11?11 ∴?A1B1C1∽?A2B2C2 A2B2A2C2B2C2

巩固练习

1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB＝BE＝EF＝FC。求证：△AEF∽△CEA。

ABEFC

答案：证明：设AB=BE=EF=FC=a，∵∠B=90°，∴AE=2a。

∵

EC2aAE2a??2，??2, EFaAE2aAEEC且∠AEF=∠CEA。 ?EFAE10 / 13

∴

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∴△AEF∽△CEA．

2．已知，如图，?ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°． 求证：?ABD∽?DCE

证明：∵?ABC是等边三角形 ∴?ABC??ACB?60o ∴?ABD??ECD ∵∠ADE=60° ∴?ADB??EDC??ADB??BAD?60o ∴?CDE??BAD ∴?ABD∽?DCE

3．已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为点E．

（1）求证：△ABE∽△DBC； （2）求线段AE的长．

ADBCE

此题考查相似三角形判定及应用； （1）证明：∵AB=AD=25，∴∠1 =∠2.

∵AD∥BC，∴∠1=∠3. ∴∠2=∠3.

∵AE⊥BD， ∴∠AEB=∠C=90°.

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∴△ABE∽△DBC.

（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE. ∴BD=2BE. 由△ABE∽△DBC，得1 ABBE?. BDBC2 3 ∵AB=AD=25，BC=32，∴∴BE=20．

25BE?. 2BE32

知识点回顾与总结：

相似三角形的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。

相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

三角形相似的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

三角形相似的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

三角形相似的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可简单说成：三边对应成比例，两个三角形相似。

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