∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝
，
∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，
∴BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH， ∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝
，
∵四边形PMQN是平行四边形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝
．
．
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．
2 （2019?湖南衡阳?12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、
CE为边作平行四边形CQFE．
（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明
理由；
（3）求DE的长；
（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．
【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题． （2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题． （3）证明DE＝AC即可解决问题．
（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，
∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°， ∴6+t＝2（6﹣t）， ∴t＝3，
∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．
（2）存在．
理由：如图1中，连接BF交AC于M．
∵BF平分∠ABC，BA＝BC， ∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm， ∵EF∥BQ，
∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°， ∴EF＝2EM， ∴t＝2?（3﹣t）， 解得t＝3．
（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．
∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠A＝60°， ∵PK∥BC，
∴∠APK＝∠B＝60°， ∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°， ∴△APK是等边三角形，
∴PA＝PK， ∵PE⊥AK， ∴AE＝EK，
∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC， ∴△PKD≌△QCD（AAS）， ∴DK＝DC，
∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．
（4）如图3中，连接AM，AB′
∵BM＝CM＝3，AB＝AC， ∴AM⊥BC， ∴AM＝
＝3
，
∵AB′≥AM﹣MB′， ∴AB′≥3
﹣3，
﹣3．
∴AB′的最小值为3
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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