2015年中考数学压轴题解题技巧练习
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值.
解：(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分
将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
8=16a+4b
2
得
0=64a+8b
解 得a=-
1,b=4 212
x+4x …………………3分 2PEBCPE4（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=
APABAP811∴PE=AP=t．PB=8-t．
221∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.
2111122
∴点G的纵坐标为：-（4+t）+4(4+t）=-t+8. …………………5分
22281212
∴EG=-t+8-(8-t) =-t+t.
881∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分
8∴抛物线的解析式为：y=-
②共有三个时刻. …………………8分 t1=
164085， t2=，t3= ． …………………11分 3132?5一、 对称翻折平移旋转
1．（2014年南宁）如图12，把抛物线y??x（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点，D、C分别是抛物线l1、l2的顶点，线段CD交y轴于点E.
（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；
（2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形说明你的理由. （3）在抛物线l1上是否存在点M，使得
2．（福建2013年宁德市）如图，C1 已知抛物线C1：
y M B O P x 2S?ABM?S?四边形AOED，如果存在，求
C1 A y N B Q O P 图2（2） E F x 出M点的坐标，如果不存在，请说明理由.
y?a?x?2??5的顶点为P，与
2A x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
C2 C3 C4 图2（1） 12
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
二、 动态：动点、动线
3．(2014年辽宁省锦州)如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，
2
与y轴交于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x－2x－8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式；
y (2)点P是线段AB上的动点，过点P作 PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE C 的面积最大时，求点P的坐标；
(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点， E 是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三 角形若存在，请直接写出所有符合条件的
B A 点Q的坐标；若不存在，请说明理由． x O P 4．（2013年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC
（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
B B P C
P A
5．（09年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这．．．．里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题： （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒；
（3）求y与x之间的函数关系式．
6．(2012年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，以MN?4，MA?1，MB?1．
2P D C A 图
Q C A 图Q Q B A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB?x． （1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积
2
8．(2009年中考天水)如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的
图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐
1
标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝．
3
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；
(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大求此时点P的坐标和△AGP的最大面积． 9．（14年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D． （1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由． y y 10．（2009年潍坊市）如图，在平面直角坐标系
D C N 半径为1的圆的圆心O在坐标原点，xOy中，且与A B C、D 两坐标轴分别交于A、B、D四点．抛物1 －4 x O A M O B E C F x 线
y?ax2?bx?c与y轴交于点D，与直线y?x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相
切于点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．
四、比例比值取值范围
11．（2014年怀化）图9是二次函数y?(x?m)?k的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S?PAB?25S?MAB,若存在，求出P点的坐4标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b(b?1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
12． (湖南省长沙市2013年)如图，在平面直角坐
中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA?82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别
标系从O、cm的1 cm
C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并
图9
求出
图1 这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线
1一动y?x2?bx?c经过B、P两点，过线段BP上
4点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
y 213．（成都市2010年）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?c与x轴交
B C 0)，若将经于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(?3，Q y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对过A、C两点的直线称轴是直线x??2． O x A （1）求直线ACP 及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC第26题图 上一点，设?ABP、?BPC的面积分别为S?ABP、S?BPC，且S?ABP:S?BPC?2:3，求点P的坐标；
（3）设eQ的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在eQ与
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